Croisement d'ellipses
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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tetraedre
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par tetraedre » 25 Jan 2023, 19:47
Bonjour à tous
Problème :
2 ellipses égales de même centre, leurs axes font un angle Theta.
Aire de la partie commune ?
Pour Theta = pi/2 ( ellipses perpendiculaires ) le problème est classique et simple à traiter.
En revanche pour theta quelconque , je parviens laborieusement à des sommes d'intégrales donnant des arctangentes...
Quelqu'un aurait il une astuce ( peut être géométrique ) pour solutionner ce problème qui a été donné à un oral ?
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phyelec
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par phyelec » 25 Jan 2023, 23:17
Bonjour,
Peut-être en faisant en passant en coordonnées polaires.
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Pisigma
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par Pisigma » 26 Jan 2023, 00:39
Bonjour,
tu passes d'une ellipse centrée en (0;0),de grand axe horizontal à une ellipse obtenue par une rotation d'origine O et d'angle
si l'équation de départ est
pour une rotation d'origine O et d'angle
, d'où
l'équation devient
à développer...
tu cherches une formule générale ou alors tu as fixé
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tetraedre
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par tetraedre » 26 Jan 2023, 15:31
bonjour
a et b étant fixés, je cherche une formule donnant l'aire en fonction de theta.
Pour cela , je pars de l'équation polaire des ellipses :
Puis je calcule les portions de surface par :
ce qui donne par intégrations successives des formules du genre :
Ce sujet ayant été donné à un oral de concours, je pense qu'il doit y avoir des astuces pour aboutir à une formulation simplifiée..
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tetraedre
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par tetraedre » 27 Jan 2023, 12:04
Bonjour,
Après prise en compte des symétries , j'arrive à la formule ultime suivante qui fonctionne pour les cas particuliers theta =pi/2 et theta =0 :
Si quelqu'un a mieux ....
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tetraedre
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par tetraedre » 27 Jan 2023, 12:08
Oups une petite erreur ... il faut lire !
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 27 Jan 2023, 12:36
Bonjour,
J'arrive à
.
À vue de nez, la même chose que le résultat de tétraèdre.
Aucune intégrale, juste des considérations géométriques et l'utilisation de l'affinité de rapport
qui fait passer de l'ellipse à un cercle de rayon
- et conserve les rapports d'aires.
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tetraedre
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par tetraedre » 27 Jan 2023, 17:11
merci Gabuzomeu c'est la formule élégante que j'attendais !
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