Croisement d'ellipses

[tetraedre]

Bonjour à tous

Problème :

2 ellipses égales de même centre, leurs axes font un angle Theta.
Aire de la partie commune ?

Pour Theta = pi/2 ( ellipses perpendiculaires ) le problème est classique et simple à traiter.
En revanche pour theta quelconque , je parviens laborieusement à des sommes d'intégrales donnant des arctangentes...
Quelqu'un aurait il une astuce ( peut être géométrique ) pour solutionner ce problème qui a été donné à un oral ?

[phyelec]

Bonjour,

Peut-être en faisant en passant en coordonnées polaires.

[Pisigma]

Bonjour,

tu passes d'une ellipse centrée en (0;0),de grand axe horizontal à une ellipse obtenue par une rotation d'origine O et d'angle

si l'équation de départ est

pour une rotation d'origine O et d'angle

, d'où

l'équation devient

à développer...

tu cherches une formule générale ou alors tu as fixé

[tetraedre]

bonjour

a et b étant fixés, je cherche une formule donnant l'aire en fonction de theta.

Pour cela , je pars de l'équation polaire des ellipses :


Puis je calcule les portions de surface par : ce qui donne par intégrations successives des formules du genre :



Ce sujet ayant été donné à un oral de concours, je pense qu'il doit y avoir des astuces pour aboutir à une formulation simplifiée..

[tetraedre]

Bonjour,

Après prise en compte des symétries , j'arrive à la formule ultime suivante qui fonctionne pour les cas particuliers theta =pi/2 et theta =0 :



Si quelqu'un a mieux ....

[tetraedre]

Oups une petite erreur ... il faut lire !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

J'arrive à .

À vue de nez, la même chose que le résultat de tétraèdre.

Aucune intégrale, juste des considérations géométriques et l'utilisation de l'affinité de rapport qui fait passer de l'ellipse à un cercle de rayon - et conserve les rapports d'aires.

[tetraedre]

merci Gabuzomeu c'est la formule élégante que j'attendais !