Koikesse ? une courbe que je ne sais pas présenter

[jniac]

Bonjour à vous,

Pour des raisons liées au design, à l'animation, j'observe le moment où la fonction x ^ p a pour tangente x + q.
Cela me donne un graphique du genre :



Je peux constater que les points où la pente de la dérivée vaut 1 forment une courbe allant de (0, 1) à (1, 0)

Les points ont la forme suivante


De là, en tant qu'amateur, plein de questions se posent :
- Quelle est cette courbe ? Que peut-on en dire ?
- Les tangentes aux bornes (0, 1) et (1, 0) ne semblent pas être verticale ou horizontale, ou bien le sont-elles ? Que valent-elles ? Comment les calculer ?
- Peut-on extrapoler la courbe au delà des bornes ? Cela a-t-il un sens ?
- Que se passe-t-il lorsque p vaut 1 ? Le point n'a alors pas de coordonnées finies. Mais par construction il semblerait que le point (0.367879, 0.367879) soit une limite lorsque p tend vers 1. Quelles sont les coordonnées exactes de ce point ?

Bien amicalement, curieusement vôtre,

Joseph

[lyceen95]

Ce nombre, c'est exp(-1) ou encore, avec une notation plus 'mathématique' : ou

[jniac]

Merci, en effet le point semble bien correspondre à la limite.
Ici un lien vers le graphe montré plus haut.
https://www.desmos.com/calculator/3d1afslwbv

[lyceen95]

Pour les 2 points (0,1) et (1,0), une approche mathématique serait plus sérieuse, mais une approche calculatoire donne une assez bonne idée.
Je calcule avec un bête tableur différents points, pour p=10, puis p=100 et de plus en plus grand. Je calcule x, y avec les formules que tu as trouvées, puis je calcule 1-x, et enfin y/(1-x).
Je constate que plus p est grand plus y/(1-x) se rapproche de 0. Pas très vite. Et les précisions de calcul font qu'on n'arrive pas à des valeurs très basses.
Par exemple, pour p=1000, on a y/(1-x) =0.14, et pour p=1000000, y/(1-x)=0.07 .
Il semblerait donc que la limite de y/(1-x) quand p devient infini, ce soit 0. Et donc la tangente à la courbe serait horizontale.
Et comme tout ça m'a l'air parfaitement symétrique, on aurait une tangente verticale au point (0,1). Quand j'étais au lycée, je n'aurais pas pu faire ces calculs (les tableurs n'existaient pas), mais j'aurais su te démontrer tout ça sérieusement ; là, ce ne sont que des impressions plus ou moins argumentées.

[jniac]

Oui en effet, les tangentes sont bien horizontales / verticales, mais cela arrive très "tardivement". Si tardivement que d'instinct il m'a semblé que cela ne convergeait pas sur 0 ou 1.

La courbe paramétrique peut être simplifiée :


Voici le graphique de cette courbe :


En pointillé, parallèle à la courbe rouge, il y a un arc de cercle pour comparaison.

Je trouve le dessin est très élégant.