Matrices, dérivée nème d'un polynome

[MathsetZinc]

Bonjour à tous!

J'ai un exercice à faire sur les matrices et les puissances nèmes de polynômes des second degré, or à partir d'un moment je bloque complètement.

Voici l'énoncé: https://zupimages.net/viewer.php?id=23/03/zr8y.jpg

Et voici ce que j'ai fait:

1)

donc

2)

et

3) Pour celle-ci, aucune idée d'où commencer, peut-être a t-on:

Donc: pour avoir une identité remarquable en n...

4) Par la formule de Leibnitz:

det(A)=9 différent de 0 donc inversible

Partie B:

1) Cette première question me pose déjà un problème: comment trouver une dérivée qui serait égale à la fonction?

Le reste des questions dépendant plus ou moins de cette assertion, alors il m'est impossible de continuer..

S'il est possible de m'aider?

Merci Beaucoup!

[Mateo_13]

Bonjour MathsetZinc,

3) Pour celle-ci, aucune idée d'où commencer, peut-être a t-on:

Donc: pour avoir une identité remarquable en n...

L'identité remarquable est la formule du binôme de Newton, qui se simplifie ici car

4) Par la formule de Leibnitz:

det(A)=9 différent de 0 donc inversible

Tu peux trouver une manière explicite pour calculer car les questions précédente te font trouver un polynôme annulateur pour , donc en isolant et en factorisant par , tu arrives à trouver telle que

Partie B:

1) Cette première question me pose déjà un problème: comment trouver une dérivée qui serait égale à la fonction?

Ce n'est pas le cas car les coefs de la dérivée ont un indice 1, donc la dérivée n'est pas égale à la fonction.

Cordialement,

[MathsetZinc]

Bonjour Mateo

Merci de ton aide









Car quelque soit le n naturel

Or ici, il y a des qui viennent perturber l'égalité, sais-tu comment les enlever?
Pour la 4) c'est ok, merci!

Mais pour la partie B, je ne comprends pas l'intérêt de l'indice 1, et je ne sais également pas par où commencer, s'il est possible de m'éclairer

Merci encore!

[Mateo_13]

Pour la partie B, il faut que tu dérives la fonction et que tu facorises la dérivée, et tu auras l'expression des coefs avec indices en fonction de , et .

[Mateo_13]

Les peuvent s'enlever car la matrice identité joue le même rôle que dans la multiplication des réels.

[MathsetZinc]

Re,

J'ai appliqué ce que tu m'as dit et trouvé ceci:







On a donc bien

avec a1=2a
b1=2a+2b
c1=b+2c

Cependant l'unicité est-elle prouvée ici?

2) on a donc:



3)a) Par récurrence:

Initialisation: A-t-on

D'une part:



D'autre part:



donc OK

Hérédité: On suppose l'existence d'un n naturel tel que:

A-t-on ?


Je suis re-bloqué à partir d'ici: je ne vois pas comment faire...

[Mateo_13]

Dans la formulation de l'hypothèse de récurrence,

suppose que :

A-t-on ?

A prouver en dérivant la dérivée n-ième.

[MathsetZinc]

Re,

Donc on dérive la dérivée n-ième, on développe puis factorise et on trouve:



Donc





On retraduit tout ça sous forme matricielle et on retrouve:

On repart de l'H.R:

et on trouve:


Soit:

Elle est donc héréditaire et initialisée donc vrai pour tout n

Cependant, pour la dernière question, j'ai rebloque une dernière fois: en effet, je sais que c'est

Mais tu me l'as déjà fait utilisé lors de la récurrence précédente, je ne sais donc pas comment le démontrer, s'il est possible de m'éclairer une dernière fois?

Encore Merci Matéo.

[catamat]

Bonjour

Mais il y a une seule récurrence dans la partie B, c'est le 3°b) et c'est ce que tu as démontré en suivant les conseils de Mateo...
Il y a juste une étourderie sur la dernière ligne de la démo c'est fois la matrice colonne(a b c) non pas

[MathsetZinc]

Bonjour Catamat!

Merci de la précision. Effectivement, depuis le début, j'utilisais la récurrence pour la 3b, pour montrer que:



soit:

Mais alors comment effectuer la 3a), c'est-à-dire comment montrer que quelque soit le n naturel,




comme demande la question 3a?

[catamat]

C'est juste une dérivation à effectuer comme au B1°)