Conditions de Karush-Kuhn-Tucker

[Cambacérès]

Chers amis,
J’ai la question suivante qui se pose à moi :
Maximiser f(x,y)= lnx+3lny
sous les contraintes suivantes :
2x + 8y ≤ 3
2x^2 + 8y^2 ≤ 1
Les questions sont dans l’ordre :
1)Ecrire le lagrangien et les conditions de Kuhn-Tucker
2)Montrer que les conditions sont nécessaires et suffisantes
3)Résoudre le problème

1) Je commence par la question 1 :

Pour le lagrangien je trouve, en appelant λ et μ les multiplicateurs de Lagrange
L(x,y,λ,μ)= (ln(x) + 3ln(y)) + λ (2x+8y−3) + μ (2x2+8y2−1)
Je cherche les dérivées partielles du 1er ordre et je trouve :
L(d/dx)= 2λ +4μx + 1/x
L(d/dy)= 8λ + 16μy + 3/y
L(d/d λ )=2x + 8y−3
L(d/dμ)= 2x2 + 8y2−1
À partir de ça je suis censé poser les conditions de Kuhn-Tucker sauf que je ne sais à vrai dire hélas même pas par où commencer.
Toute idée, conseil et même solution est bienvenue. Merci d'avance chers amis:)

[mathelot]

Bonsoir,

voici quelques infos sur les conditions de Kuhn-Tucker:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conditions_de_Karush-Kuhn-Tucker










D'après Wiki, on obtient le système:





Les contraintes délimitent une portion d'ellipse (une portion de son intérieur) découpée par trois demi-plans.
Le domaine des contraintes est convexe, en particulier domaine étoilé en B.
La fonction f est concave (somme de deux fonctions réelles concaves) et les fonctions des contraintes sont convexes. On devrait avoir l'existence et l'unicité d'une solution.

Au vu des équations,on peut calculer x et y , grâce aux deux dernières équations, puis en fonction de lambda et mu (trinômes du second degré)ou calculer lambda et mu en fonction de x et y (systèmes linéaires 2x2).

[mathelot]

Le domaine des contraintes est constitué de l'intersection d'une ellipse et de son intérieur,d'équation , avec un demi plan d'équation
On rajoute les conditions x>0 et y>0
Les points A et B ont pour coordonnées respectives

Calcul des coordonnées des points extremaux du domaine:






en développant:



Le trinôme a pour racines:


ce qui donne les points:
et

comme
le point B est candidat à être les coordonnées du maximum de f cherché.

Calcul de et au point B:


après résolution du système:



d 'où la matrice hessienne de L au point B:


Au point B, la hessienne de L n'est pas de rang maximal.