Minimum d'une fonction

[Thiéfaine]

Voici la question:



En isolant j'obtiens:



Donc:



En remplaçant dans l'expression j'ai:



Il faut évidemment la valeur la plus petite du polynôme, je calcule son discriminant:



Le minimum est au dessus de l'axe des abscisses, je calcule donc son ordonnée:



Où est l'erreur ?

[mathelot]

Voici la question:



En isolant j'obtiens:



Donc:



En remplaçant dans l'expression j'ai:



Il faut évidemment la valeur la plus petite du polynôme, je calcule son discriminant:



Le minimum est au dessus de l'axe des abscisses, je calcule donc son ordonnée:



Où est l'erreur ?

il n"y a pas d"erreur, il faut simplement prendre la racine carrée de ton résultat, soit:

[catamat]

Bonjour

Une autre méthode plus rapide c'est de voir que l'on cherche le minimum de la distance du point O à un point de la droite c'est à dire la distance de O à la droite d'équation 5x+12y-60=0

La formule générale pour M(x,y) et (D) ax+by+c=0 est :



ce qui donne ici

[Thiéfaine]

Bonjour

Une autre méthode plus rapide c'est de voir que l'on cherche le minimum de la distance du point O à un point de la droite c'est à dire la distance de O à la droite d'équation 5x+12y-60=0

La formule générale pour M(x,y) et (D) ax+by+c=0 est :



ce qui donne ici

Je n'ai pas tout compris, peux tu préciser plus encore la logique de ce raisonnement ? Merci

[Thiéfaine]

il n"y a pas d"erreur, il faut simplement prendre la racine carrée de ton résultat, soit:

Pauvre de moi

[lyceen95]

Fais un dessin.

5x+12y=60, c'est une droite.
racine(x²+y²), c'est la distance entre un point M(x,y) et l'origine.

Donc la question est : trouver sur cette droite d'équation5x+12y=60 le point P le plus proche de l'origine, puis calculer la distance OP
Et le point P peut se trouver par le calcul d'une dérivée, ou par d'autres moyens beaucoup moins calculatoires.

[catamat]

Je n'ai pas tout compris, peux tu préciser plus encore la logique de ce raisonnement ? Merci

En fait la distance d'un point A à un ensemble de points E est la plus courte distance AM où M est un point de E.

Ici E est la droite D le point A est le point O,
Soit M un point de D de coordonnées (x,y) est la distance OM, on cherche son minimum.
Ce minimum est exactement par définition la distance du point O à la droite D.
Or à l'aide d'un produit scalaire on démontre la formule que je donnais dans mon précédent message.

La démonstration de cette formule peut se lire par exemple ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_d%27un_point_à_une_droite.

Si on ne connait pas la formule on aurait pu chercher le projeté orthogonal H du point O sur D, le minimum de OM est bien sûr OH.