Sous-Groupe d'un groupe cyclique

[mathelot]

Bonjour,

Exercice:
Soit un groupe cyclique d'ordre n.
Déterminer les sous-groupes du groupe cyclique G.
remarque: il y a alors un sous groupe de cardinal d pour chaque entier d divisant n.

Merci d'avance pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Combien y a-t-il d'éléments dont l'ordre divise d ?

[tournesol]

Bonjour,
On peut utiliser l'homomorphisme canonique f de Z dans G : son ker est nZ
L'image réciproque d'un sous groupe par un homomorphisme est un sous groupe.
Si H est un sous groupe de G , son ordre est un diviseur d de n .
est un sous groupe de Z , donc de la forme pZ.
H est donc ;H est donc cyclique et engendré par un élément de G.
Les sous groupes de G sont donc exactement les sous groupes monogènes engendrés par les éléments de G.
A préciser,bien sûr.

[mathelot]

Bonsoir,
Combien y a-t-il d'éléments dont l'ordre divise d ?

je ne sais pas. Autant que de diviseurs de d ?

[GaBuZoMeu]

Ce n'est pas sorcier. L'ordre de divise si et seulement si si et seulement si divise . Je te laisse poursuivre.

[mathelot]

n|(pd) il existe donc tel que

donc

[GaBuZoMeu]

Conclusion ?

[mathelot]

L'o.rdre d'un élément x est le plus petit entier n>0 tel que .
On a donc et l'élément d'ordre divisant d est


on va regarder ce qui se passe avec




On note le sous-groupe engendré par x, on note l'ordre de .











élément d'ordre 1:
élément d'ordre 2:
éléments d'ordre 3:
éléments d'ordre 4:
éléments d'ordre 6:
éléments d'ordre 12:

[GaBuZoMeu]

La conclusion attendue est qu'il y a un unique sous-groupe d'ordre d, et on peut préciser quel est ce sous groupe.