Bonjour, veuillez m'excuser mais je n'ai rien compris dans cet exo mais j'aurai voulu le corrigé si possible au moins pour comprendre ce qu'il faut faire.
Je n'ai même pas réussi à le taper : le voici
https://ibb.co/xSXpw8H
Probabilité et indépendance
8 messages
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Re: Probabilité et indépendance
par mathelot » 22 Déc 2022, 19:03
Bonjour,
il s'agit de démontrer la formule du crible de Poincaré.
Pour n=2 , démontre la formule= P(A)+P(B)-P(A \cap B))
en dessinant des patatoïdes, pourquoi pas ?
Applique cette formule du rang 2 pour démontrer le cas
:
La réunion ensembliste étant associative, on veut obtenir:
=P((A \cup B) \cup C)=)
+P(B)+P(C)- (P(A \cap B)+P(A \cap C) +P(B \cap C))+P(A \cap B \cap C))
lire ici:
https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... ncare.html
Dans la formule au rang n, on lit , par exemple, le signe somme suivant:
ça veut dire que l'on somme sur toutes les façons de choisir trois indices entiers distincts dans
La formule au rang n se démontre par récurrence.
il s'agit de démontrer la formule du crible de Poincaré.
Pour n=2 , démontre la formule
en dessinant des patatoïdes, pourquoi pas ?
Applique cette formule du rang 2 pour démontrer le cas
La réunion ensembliste étant associative, on veut obtenir:
lire ici:
https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... ncare.html
Dans la formule au rang n, on lit , par exemple, le signe somme suivant:
ça veut dire que l'on somme sur toutes les façons de choisir trois indices entiers distincts dans
La formule au rang n se démontre par récurrence.
Re: Probabilité et indépendance
par Françoisdesantilles » 23 Déc 2022, 15:29
Merci beaucoup Mathelot, c'est déjà bien plus clair!
passe de bonne fête au passage
passe de bonne fête au passage
Re: Probabilité et indépendance
par mathelot » 23 Déc 2022, 15:41
Merci, Bonnes fêtes à toi également.
Quand les évenements sont indépendants, on a:
= P(A_{i_1}) \times P(A_{i_2}) ...\times P(A_{i_k}))
pour tout k de [|1,n|] et pour toute injection i de [|1,k|] dans [|1,n|]
Quand les évenements sont indépendants, on a:
pour tout k de [|1,n|] et pour toute injection i de [|1,k|] dans [|1,n|]
Modifié en dernier par mathelot le 23 Déc 2022, 22:12, modifié 1 fois.
Re: Probabilité et indépendance
par mathelot » 23 Déc 2022, 16:21
Pour montrer l'inégalité:
 \leq e^{- \Sum_{i=1}^n \, P(A_i)})
considérer l'évenement complémentaire de
considérer l'évenement complémentaire de
Re: Probabilité et indépendance
par mathelot » 25 Déc 2022, 23:08
re,
soit A un évenement. On note
son complémentaire. On a:
=1-P(A))
=P(\Bigcap_{i=1}^n \, \bar{A_i}))
Les_{i \in [1,n]})
étant indépendants, _{i \in [1,n]})
sont également indépendants.
D'où :
=\prod_{i=1}^{n} \, P(\bar{A_i}))
=\prod_{i=1}^{n} \, (1-P(A_i)))
on pose , x_i \in ]0,1[)
On a :
d'après les variations de la fonction:
=e^{-x}-1+x)
sur ]0,1[
d'où \leq e^{- \Sum_{i=1}^n \, x_i})
(*)
s'il existe
ou 
, l'inégalité (*) est encore vraie.
Avec \forall i \in [1,n])
 \leq e^{- \Sum_{i=1}^n \, P(A_i)})
 \geq 1- e^{- \Sum_{i=1}^n \, P(A_i)})
soit A un évenement. On note
Les
D'où :
on pose
On a :
d'où
s'il existe
Avec
Re: Probabilité et indépendance
par mathelot » 26 Déc 2022, 13:25
démonstration de l'implication:
A et B deux évenements indépendants
et B indépendants
+P(A \cap \bar{B})=P(A))
 P(B)+ P(A \cap \bar{B}) = P(A))
=P(A)-P(A)P(B))
 = P(A)(1-P(B)))
 = P(A) P(\bar{B}))
A et B deux évenements indépendants
Re: Probabilité et indépendance
par Françoisdesantilles » 04 Jan 2023, 13:29
mathelot a écrit:démonstration de l'implication:
A et B deux évenements indépendants
Merci , j'ai globalement compris, la seule chose que j'oubli c'est le symbole la ligne en bas le phi(x) , c'est le symbole du produit non?(Une sorte de Pi carré).
Sinon tout était clair
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