Catégorie des groupes

[mathelot]

Re-bonjour,
pourquoi la collection de tous les groupes n'est pas un ensemble ?
Peux t on définir sur une loi de composition qui fait de un groupe et donc est élément de lui-même,ce qui n'est pas possible en théorie des ensembles ?
Merci d'avance pour la réponse.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Pour la même raison que la collection de tous les ensembles n'est pas un ensemble.
Par ailleurs le fait qu'un ensemble appartienne à lui-même n'est pas contradictoire avec ZFC.
Si l'on ajoute à ZFC l'axiome de fondation, alors ça devient contradictoire. Mais l'axiome de fondation est indépendant de ZFC.

[mathelot]

Soit G un ensemble qui se contient lui-même.
a est un élément.



etc..
G est il solution d'une équation aux points fixes ? ça fait penser également à une fraction continue.
Lors de ces substitutions,le cardinal de G est inchangé.

[Doraki]

Pour tout ensemble x, on peut mettre une structure de groupe trivial sur le singleton {x}.

Si la collection de tous les groupes (dont je ne vais pas donner la définition ultra-précise en théorie des ensembles) était un ensemble alors en appliquant l'axiome de réunion un certain nombre de fois, on en déduirait l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, avec les problèmes qu'on connaît.

Tant que ta catégorie d'ensembles n'a aucune contrainte sur ce que doivent être les éléments de ses objets (ce qui est quasiment toujours le cas) la collection de tous les objets de la catégorie ne sera jamais un ensemble.

[mathelot]

Pour tout ensemble x, on peut mettre une structure de groupe trivial sur le singleton {x}.

Si la collection de tous les groupes (dont je ne vais pas donner la définition ultra-précise en théorie des ensembles) était un ensemble alors en appliquant l'axiome de réunion un certain nombre de fois, on en déduirait l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, avec les problèmes qu'on connaît.

si on applique le foncteur d'oubli, on va de vers Ens, qui est "surjectif"

[GaBuZoMeu]

Ce n'est pas du tout ce que dit Doraki mais oui, on peut mettre sur tout ensemble une structure de groupe. C'est clair pour tout ensemble fini, et pour un ensemble infini X le groupe libre sur X a même cardinal que X.