Une inégalité

[Godfrey]

Bonjour à tous,

Je bloque sur la toute dernière question de ce sujet d'étude (tiré d'un vieux bouquin de prépa).



J'ai tenté d'appliquer la définition de la limite obtenue à la question 2) b) en vue d'avoir une inégalité globale mais difficile de "remplacer" x par n en 3).
Autre info : je n'ai pas encore exploité l'inégalité 1c) entre les deux intégrales.

Vous voyez comment faire ?
Merci d'avance

[Doraki]

As-tu essayé d'appliquer 2a) avec x=n ?

[Godfrey]

Bonjour,
Merci pour ta réponse.
En effet, ca sautait aux yeux mais je n'y avais pas pensé.

Alors en procédant ainsi, il me revient à démontrer que .
Ou (condition suffisante) : .

J'ai pensé à majorer à la louche par une étude de fonction mais ca ne fonctionne pas.
J'ai alors tenté une récurrence (via une IPP) et... ca fonctionne !
Il faut pour cela utiliser une inégalité de concavité du type ln(1+X) < X et se retrousser un peu les manches.

Néanmoins, je suis un peu perplexe devant cet énoncé en constant que je n'utilise aucun des résultats obtenus en 1c) et 2b)...

[Doraki]

Tu vas chercher des trucs bien compliqués quand tu as en effet quasiment tout ce qu'il te faut avec 1c) et 2b)
Il faut voir que l'intégrale de 0 à l'infini d'un truc positif, c'est plus grand que l'intégrale de 0 à n + l'intégrale de n à 2n.

[Godfrey]

Merci et bravo pour cette astuce !

Il fallait avoir l'idée de comparer l'intégrale de 0 à 2n et je ne l'avais pas du tout...