Fonction logarithme

[aymrc59]

Bonjour j’aimerais avoir de l’aide pour cet l’exercice sur les fonctions logarithme de spé terminale:
f est la fonction définie sur ]0; + ∞ [ par : f(x) = Inx/x^2

1) a) Déterminer les limites de f en 0 et en +∞

b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

2) a) On note A le point de Cf d'abscisse b) Trouver une équation de la tangente T à Cf en A.

[titine]

Dis nous ce que tu as fait et ce qui coince.
Pour les limites, qu’en penses tu ?
La dérivée te pose t elle problème ? Fonction de la forme u/v

[aymrc59]

quand x tend vers 0
lim f(x) = lim (ln x/x²) = lim (ln x) * (1/x²)
lim ln (x) = - ∞ et lim (1/x²) = + ∞ donc par produit lim f(x) = - ∞

pour x tend vers + ∞
lim f(x) = lim (ln x/x²) = lim (ln x) * (1/x²)
ln x) = + ∞ et lim 1/x² = 0
mais du coup par produit je tombe sur une forme indeterminée

Pour la dérivée j'ai fais u'v-uv'/v² donc (1/x*x²-lnx*2x) / (2x)² = (x²/x-2ln(x)x) / (2x)² Mais je ne suis pas sûre de ce résultat.

[titine]

quand x tend vers 0
lim f(x) = lim (ln x/x²) = lim (ln x) * (1/x²)
lim ln (x) = - ∞ et lim (1/x²) = + ∞ donc par produit lim f(x) = - ∞
Oui
pour x tend vers + ∞
lim f(x) = lim (ln x/x²) = lim (ln x) * (1/x²)
ln x) = + ∞ et lim 1/x² = 0
mais du coup par produit je tombe sur une forme indeterminée
C’est vrai. Mais tu as du voir en cours que la limite quand x tend vers l’infini de lnx/x est égale à 0. Donc ...
Pour la dérivée j'ai fais u'v-uv'/v² donc (1/x*x²-lnx*2x) / (2x)² = (x²/x-2ln(x)x) / (2x)² Mais je ne suis pas sûre de ce résultat.

Non.
v² = (x²)² = x⁴
Et on peut simplifier ! x²/x = x

[aymrc59]

quand x tend vers 0
lim f(x) = lim (ln x/x²) = lim (ln x) * (1/x²)
lim ln (x) = - ∞ et lim (1/x²) = + ∞ donc par produit lim f(x) = - ∞
Oui
pour x tend vers + ∞
lim f(x) = lim (ln x/x²) = lim (ln x) * (1/x²)
ln x) = + ∞ et lim 1/x² = 0
mais du coup par produit je tombe sur une forme indeterminée
C’est vrai. Mais tu as du voir en cours que la limite quand x tend vers l’infini de lnx/x est égale à 0. Donc ...
Pour la dérivée j'ai fais u'v-uv'/v² donc (1/x*x²-lnx*2x) / (2x)² = (x²/x-2ln(x)x) / (2x)² Mais je ne suis pas sûre de ce résultat.

Non.
v² = (x²)² = x⁴
Et on peut simplifier ! x²/x = x

Donc du coup lim (ln x/x) = 0 et lim 1/x = 0
et par produit cela fait lim f(x) = 0

puis pour la dérivée c'est donc x-2ln(x)x / x⁴ mais comment je peux faire un tableau de signe avec cette dérivée, est ce que c'est possible de résoudre x-2ln(x)x > 0 ?

[titine]

Donc du coup lim (ln x/x) = 0 et lim 1/x = 0
et par produit cela fait lim f(x) = 0
C’est ça
puis pour la dérivée c'est donc x-2ln(x)x / x⁴ mais comment je peux faire un tableau de signe avec cette dérivée, est ce que c'est possible de résoudre x-2ln(x)x > 0 ?

Simplifie encore :
f’(x) = (x-2ln(x)x )/ x⁴ = x(1-2ln(x))/x⁴ = (1-2ln(x))/x³
Sur ]0;+inf [ x³ est positif.
Il faut étudier le signe de 1-2ln(x) :
1-2ln(x) > 0
2ln(x) < 1
ln(x) < 1/2
x <

Donc la fonction est croissante, puis décroissante avec un maximum en qui est égal à 1/(2e)

2) a) On note A le point de Cf d'abscisse ?

[aymrc59]

Donc du coup lim (ln x/x) = 0 et lim 1/x = 0
et par produit cela fait lim f(x) = 0
C’est ça
puis pour la dérivée c'est donc x-2ln(x)x / x⁴ mais comment je peux faire un tableau de signe avec cette dérivée, est ce que c'est possible de résoudre x-2ln(x)x > 0 ?

Simplifie encore :
f’(x) = (x-2ln(x)x )/ x⁴ = x(1-2ln(x))/x⁴ = (1-2ln(x))/x³
Sur ]0;+inf [ x³ est positif.
Il faut étudier le signe de 1-2ln(x) :
1-2ln(x) > 0
2ln(x) < 1
ln(x) < 1/2
x <

Donc la fonction est croissante, puis décroissante avec un maximum en qui est égal à 1/(2e)

2) a) On note A le point de Cf d'abscisse ?

Le point d'abscisse 1
Donc il faut faire y=f(1)+f(1')(x-1)
f(1)=ln1/1²=0
f'(1)=1-2ln(1)/1^3=1
donc y=1(x-1)=x-1

[titine]

C’est ça !