Taille idéal pour une boite rectangulaire

[Ilivsedri]

Bonsoir,
Voilà je bloque, sur un exercice de pédagogie par problème. Voici l'énoné :
On cherche à construite une boite rectangulaire ( parallélépipède rectangle) la plus légère possible ( avec le minimum de matière) dont le volume intérieur sera noté V, la surface supposée d'épaisseur nulle S, quelles doivent être ses dimensions: largeur (x), longueur(z) et hauteur (y)? La boite est ouverte en haut, mais il y a une séparation verticale supplémentaire qui coupe la boite en 2, le volume V=48u^3.

Je vous remercie pour l'aide d'avance .
Merci.

[lyceen95]

Etape 1a : Quelle est la surface des différentes faces de la boite ?
Etape 1b : Quelle est la surface cumulée des différentes faces ?
Etape 2 : On a un volume imposé, quelle relation obtient-on entre x, y et z ?
Etape 3 : Pour quelles valeurs de x,y,z a-t-on une surface minimale ?

[Pisigma]

Bonjour,

sauf erreur de ma part, je trouve :

[lyceen95]

Je n'ai pas la même chose, et comme je trouve une réponse avec 3 nombres entiers, je suis assez serein.

[Pisigma]

@lyceen95:

après vérification (erreur sur A), je trouve aussi 3 valeurs entières

[mathelot]

moi aussi, trois valeurs entières Des petites valeurs.

[tournesol]

x,y,et z sont des multiples de 2u car
Ne pas oublier de préciser la direction du plan séparateur.

[Ilivsedri]

Etape 1a : Quelle est la surface des différentes faces de la boite ?
Etape 1b : Quelle est la surface cumulée des différentes faces ?
Etape 2 : On a un volume imposé, quelle relation obtient-on entre x, y et z ?
Etape 3 : Pour quelles valeurs de x,y,z a-t-on une surface minimale ?

je me retrouve avec 2[ (xy)+(yz)+(xz)]=48 u^3
Mais je ne sais pas comment avancer

[mathelot]

Bonsoir,

(*)

Pour obtenir l'égalité (*), tu as supposé que le plan séparateur est horizontal. On peut
également le choisir vertical, ce qui ne conduit pas aux mêmes résultats.


Remplace "z" par 48/(xy) afin que S soit une fonction uniquement des deux variables x et y.

Si S admet un minimum (global) alors les dérivées partielles de S par rapport à x et par rapport à y s'annulent
et donnent les coordonnées des points critiques.

[Ilivsedri]

Si le plan séparateur est vertical qu'est ce qu'on obtient ?

[mathelot]

Si le plan séparateur est vertical qu'est ce qu'on obtient ?

On peut obtenir S=3xy+xz+2yz si le "plan séparateur" a une aire de xy

[Ilivsedri]

Je trouve S= 3xy+48/y+96/x, c'est bien ça ? Et qu'est ce que je dois faire après ?
Merci

[Pisigma]

S est juste

tu dois commencer par chercher les points critiques comme expliqué par mathelot

[Ilivsedri]

pouvais vous être plus explicite, je n'arrive pas à comprendre l'utilisation des points critiques .

[Pisigma]

pour obtenir les points critiques, il faut résoudre le système des dérivées partielles égales à 0

[mathelot]

pouvez vous être plus explicite, je n'arrive pas à comprendre l'utilisation des points critiques .

@llivsedri je fais un petit peu de cours, on reprend la discussion après

Soit .

Pour une fonction f d'une variable qui atteint un minimum (local)
et qui est dérivable en :

Pour tout h réel, suffisamment petit,

à droite de , avec d'où



à gauche de d'où



d'où
Si f est dérivable en et si f atteint son minimum en , alors .

Maintenant , avec une fonction de deux variables, si est un minimum de f
et si f est différentiable en , alors

atteint son minimum en d'où:



De même


atteint son minimum en , d'où:



Ainsi si f est une fonction différentiable, de deux variables et atteint son minimum en
les deux dérivées partielles sont nulles en .

Ainsi , on cherche les points critiques et parmi ceux-ci, on obtient les coordonnées du ou des minima.

remarque: la réciproque est fausse, on peut avoir des points critiques qui ne soient pas des extrema (par exemple , un "point selle" ou un "point col")

[mathelot]

je me retrouve avec 2[ (xy)+(yz)+(xz)]=48 u^3
Mais je ne sais pas comment avancer

Ça ne va pas,tu égalises une aire et un volume.
Il faut garder le volume constant (donc z=48/(xy))
Et annuler les dérivées partielles de l'aire S.

[mathelot]

Je trouve S= 3xy+48/y+96/x, c'est bien ça ? Et qu'est ce que je dois faire après ?
Merci

Là,c'est ok. Comme l'a conseillé Pisigma, annule les dérivées de S par rapport à x puis par rapport à y pour trouver les coordonnées du ou des points critiques

[mathelot]

Je trouve S= 3xy+48/y+96/x, c'est bien ça ? Et qu'est ce que je dois faire après ?
Merci

Là,c'est ok. Comme l'a conseillé Pisigma, annule les dérivées de S par rapport à x puis par rapport à y pour trouver les coordonnées du ou des points critiques








Le système ci-dessus a pour unique solution

La fonction S(x,y) admet un unique point critique de coordonnées x=4,y=2.
Par ailleurs z=6.

En la matrice Hessienne de S vaut:



C'est la matrice d'une forme quadratique positive.
S admet un minimum local en égal à S(4,2) égal à 72.

Il reste à montrer qu'en , S admet un minimum global sur l'ouvert x>0 et y>0.

[mathelot]

Il reste à montrer qu'en , S admet un minimum global sur l'ouvert x>0 et y>0.

On distingue 5 sous ensembles de l'ouvert x>0 et y>0 dont la réunion est










sur
sur

sur
sur

sur
sur

sur
sur

L'ensemble K est compact non vide donc la fonction S , continue, y admet un minimum.

NB: c'est le point crucial de la démo, obtenir l'existence d'un minimum de S.

Ce minimum est inférieur ou égal à 72 car 72=S(4,2)
Sur le bord de K (bord compact) , S reste strictement supérieure à 72.
Le minimum de S sur le compact K est donc atteint sur l' intérieur de K (et pas sur son bord)
Mais l'intérieur de K est un ensemble ouvert et donc le gradient s'annule en ce minimum.
Donc le minimum de S sur K est le point critique. Le minimum est donc atteint en
du fait de l'unicité du point critique.
Résultat des courses, 72 est le minimum global de S atteint au point de coordonnées (4,2).