Facteur irreductibles dans F2

[nop]

Bonjour,
j'ai souvent des questions dans mes exercices du type un polynome X puissance quelque chose +1 et je dois trouver le nombre de facteurs et leurs degrés mais je ne comprends pas du tout la méthode pour y parvenir.

exemple:
https://prnt.sc/oSXOVvirKlWX
j'ai cru comprendre qu'il fallait se servir de polynome cyclotomiques en faisant des recherches mais je ne comprends jamais la demarche complete

[mathelot]

Bonjour,
dans

[tournesol]

On peut mettre X-1 en facteur puis utiliser des critères d'irréductibilité(attention à leur validité en caractéristique 2)

[mathelot]

je serai curieux de savoir si ce polynôme de degré 16 se factorise dans

[Doraki]

On peut donner le nombre de facteurs de degrés 1 2 3 ... sans pour autant connaître la factorisation complète.
Il faut savoir que X^(2^d) - X est le produit de tous les polynômes irréductibles de degré divisant d de F2[X].

En calculant le pgcd de ton polynôme avec ces polynômes et en regardant le degré, on peut en déduire le nombre de facteurs irréductibles distinct de chaque degré .

Si en plus ton polynôme n'a pas de racine double alors tous les facteurs irréductibles sont distincts et donc tu peux tous les dénombrer avec cette méthode.
(sinon on recommence avec pgcd(P,P') pour dénombrer les facteurs de multiplicité au moins 2, et ainsi de suite...)

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Sinon dans ce cas particulier tu peux tout de suite regarder l'action de frobenius sur les racines
comme 2 est d'ordre 8 modulo 17, tu auras X^2^8 = X pour les racines autres que 1, donc 2 facteurs irréductibles de degré 8 et 1 de degré 1

[tournesol]

Coup de bluff en direction des pros:
2^8-1=255=3×5×17
Il existe donc un polynôme P de degré 8 tel que toute racine x de P vérifie x^17=1
X^17-1 n'a que des racines simples, donc il est divisible par un polynôme de degré 8.

[mathelot]

@tournesol dans quel anneau sont tes polynômes ?
R[X] ,Z[X] ou F_2[X]
Est ce que tu peux exhiber le polynôme de degré 8?

[tournesol]

Bonjour mathelot,
J'ai remarqué sur quelques exemples que lorsqu'un polynôme de F2[X] est de degré d, ses racines non nulles dans son corps de rupture ont pour ordre un diviseur de 2^d-1 .
J'ai ensuite construit mon BLUFF en conjecturant ma proposition précédente ainsi que sa réciproque.
Ma Casio graph 35+ travaille actuellement sur cette factorisation.

[tournesol]

Casio graph 35+ dixit:

Les deux facteurs sont irréductibles car j'avais testé a la main la divisibilité de par les irréductibles de degrés 2,3,et4.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Les racines de sont 1 et les éléments d'ordre 17 dans le groupe multiplicatif de la clôture algébrique de . Puisque est d'ordre dans le groupe multiplicatif de , ces racines sont des éléments de , et c'est la plus petite extension de qui contienne l'une quelconque de ces racines. Par conséquant . est le produit de et de deux polynômes de degré 8 irréductibles sur .

[GaBuZoMeu]

Doraki avait déjà en gros écrit ça plus haut.

[tournesol]

Merci GaBuZoMeu