La dérivation (première)

[sdvdvd]

Bonjour à tous,

je suis en première et je viens de commencer le chapitre sur la dérivation. J'ai compris quelques notions comme le taux d'accroissement (= coefficient directeur) cependant je n'ai pas compris le fait qu'une fonction puisse être dérivée, tendre vers o (=limite de cette fonction).

merci par avance pour vos explications

[titine]

En effet, ce n’est pas clair !
Il faut d’abord comprendre la notion de nombre dérivé.
Tu prends la courbe représentative d’une fonction f. Sur cette courbe tu considères 2 points : A d’abscisse a et d’ordonnée f(a) et B d’abscisse a+h et d’ordonnée f(a+h). Tu traces la droite (AB). Son coefficient directeur est le taux d’accroissement de f entre a et a+h. Maintenant, tu prends h de plus en plus petit (tu le fais tendre vers 0). Ton point B se rapproche alors de A jusqu'à se confondre. On dit alors que la droite est tangente à la courbe au point A et son coefficient directeur s’appelle le nombre dérivé de f en a (on le note f’(a))
Donc f’(a) est la limite quand h tend vers 0 du taux d’accroissement.
Par exemple sur cette animation : http://www.gymomath.ch/javmath/3eme_diplome/introderive/sectgte.html tu peux déplacer le point B jusqu'à ce qu’il soit confondu avec A.

[sdvdvd]

Merci de votre réponse !!!!
J'ai encore une question comment calcul-t-on la limite quand h tend vers 0 ?

[titine]

Ça dépend. Il faudrait me donner un exemple.

[sdvdvd]

soit f la fonction inverse, on à A(-1;-1). Est-ce dérivable en -1 ?

[titine]

soit f la fonction inverse, on à A(-1;-1). Est-ce dérivable en -1 ?

f(x) = 1/x
(f(-1+h) - f(-1))/((-1+h) - (-1)) = (1/(-1+h) + 1)/h = [(1-1+h)/(-1+h)]/h = h/((-1+h)h) = 1/(-1+h) (réduction au même dénominateur, puis simplification)
Si h est très, très proche de 0 alors 1/(-1+h) est très proche de 1/(-1) = -1
Donc on dit que la limite quand h tend vers 0 de (f(-1+h) - f(-1))/((-1+h) - (-1)) est égale à -1.
Donc f est dérivable en -1 et f’(-1) = -1

Comprends tu mon calcul ?

[sdvdvd]

pour dire vrai je ne comprend pas comment vous avez calculé la limite ....

[titine]

(f(-1+h) - f(-1))/((-1+h) - (-1)) = (1/(-1+h) + 1)/h
Es tu d'accord avec cela ?
Ce qui ne peut pas être calculé pour h=0 car la division par 0 n'existe pas. D'accord ?
Par contre on peut faire le calcul pour h très proche de 0. Pou h=0,1 ou h=0,01 ou h=0,000001. Enfin pour h aussi proche de 0 qu'on veut. C'est ce qu'on appelle faire tendre h vers 0.
De plus, on constate que pour h différent de 0 on peut simplifier (1/(-1+h) + 1)/h. On obtient :
(1/(-1+h) + 1)/h = 1/(-1+h)
Comprends tu ce calcul ?
Or si h = 0 alors 1/(-1+h) = -1
Donc si h est un nombre très, très proche de 0 alors 1/(-1+h) est un nombre très proche de -1.
Par conséquent, (f(-1+h) - f(-1))/((-1+h) - (-1)) n'existe pas pour h=0 (division par 0), mais pour h très proche de 0, ce nombre existe et est très proche -1.
C'est ce que l'on exprime lorsqu'on dit :
La limite quand h tend vers 0 de (f(-1+h) - f(-1))/((-1+h) - (-1)) est égale à -1.

Reprends bien tranquillement mes explications et dis moi où ça coince.
(Au besoin, n'hésite pas à faire des essais avec ta calculatrice en prenant des valeurs de h très proches de 0 pour voir ce qui se passe.)

[stummel]

Par définition

Ici avec , on obtient :



pour x = -1, cela nous donne successivement :







Et comme h tend vers 0 et que l'on n'est pas dans une forme indéterminée, on arrive (en prenant h = 0) à:

soit :


C'est plus clair ?

[sdvdvd]

Ok merci pour vos explications je vais relire tout cela en m'exerçant et je reviens vers vous si j'ai d'autres questions.

[mathou13]

Bonjour,


https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Dérivée