Géometrie égalité de longueurs

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Cone12
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Géometrie égalité de longueurs

par Cone12 » 02 Déc 2022, 14:49

Bonjour tout le monde,
Voici un petit énoncé sur lequel je bloque :
1) Tracer 3 droites (d1), (d2) et (d3) quelconques qui s'intersectent en un point O
2) Tracer un segment [AB] perpendiculaire à (d3) avec AO = OB
3) Placer le point A' appartenant à (d1) tel que (AA') // (d2)
4) Placer le point B' appartenant à (d2) tel que (BB') // (d1)
Démontrer que AO = A'B'.

J'ai fait une animation geogebra pour visualiser le problème et vérifier l'égalité de longueurs.
Image

J'ai essayé de raisonner avec des parallélogrammes en montrant par exemple que (AB)//(A'B') ce qui me permettrait de conclure que AA'B'O est un parallélogramme et donc que ses côtés opposés sont parallèles (en particulier AO = A'B').
J'ai aussi tenté de raisonner avec Thalès puisque nous avons des droites parallèles.
Mais je n'y arrive pas, et j'ai peur de passer à côté de quelque chose de plus ou moins évident.

Sauriez-vous me mettre sur la piste ?
En vous remerciant :)



catamat
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Re: Géometrie égalité de longueurs

par catamat » 02 Déc 2022, 16:35

Bonjour

Tracer C intersection de (AA') et (BB')

Puis démontrer que A' et B' sont des milieux de côtés du triangle ABC

Cone12
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Re: Géometrie égalité de longueurs

par Cone12 » 02 Déc 2022, 17:27

catamat a écrit:Bonjour

Tracer C intersection de (AA') et (BB')

Puis démontrer que A' et B' sont des milieux de côtés du triangle ABC


Si je ne me trompe pas :
Je sais que O est le milieu de [AB] et que (BB') // (d1).
Je me place dans le triangle ABC. Je sais que A' appartient à [AC] et B' appartient à [BC]. De plus, [BC] // [OA'] et O est le milieu de [AB].
Par un théorème des milieux, je déduis que A' est le milieu de [AC].

Par un raisonnement analogue, je montre que B' est le milieu de [BC].

Je peux donc déduire que (A'B') // (AB) (la aussi théorème des milieux).

Finalement, AA'B'O est un parallélogramme (car côtés opposés parallèles) et donc AO = A'B' (côtés opposés donc de même longueur).

J'espère ne pas avoir dit de bêtises, mais super indice grâce auquel j'ai réussi à aboutir :D

catamat
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Re: Géometrie égalité de longueurs

par catamat » 02 Déc 2022, 17:45

C'est ok

Avatar de l’utilisateur
mathelot
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Re: Géometrie égalité de longueurs

par mathelot » 02 Déc 2022, 19:55

bonsoir,
ce n'est pas dit dans l'énoncé que O appartient au segment [A,B] ?

 

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