Rassure-toi, Kekia, je ne cherche pas à donner du sens au baratin de Spalding, je sais bien qu'il n'y en a pas.
Rien ne nouveau dans sa nouvelle livraison, à part des bêtises supplémentaires dans l'analyse de l'argument diagonal de Cantor. Et toujours la même affirmation aberrante sur les touristes (réels) et les chambres (entiers naturels) : "Mais tous sans exception auront une chambre ! ", autrement dit il y a une application injective de l'ensemble des réels dans l'ensemble des entiers naturels ; c'est une évidence, selon Spalding : pas besoin de démonstration. Le théorème de Cantor-Bernstein et l'argument diagonal de Cantor démontrent que c'est faux, mais peu importe pour Spalding !
La longueur de la prose ne comble pas le vide scientifique.
Et bien sûr, aucune réponse à ma question précise : est-ce qu'une "bijection au hasard" entre l'ensemble X et l'ensemble Y est une application bijective de X sur Y ?
Je vais plutôt essayer de donner quelques informations qui pourraient être utiles pour qui n'est pas très familier avec cette notion de cardinal.
Le cardinal d'un ensemble X est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble Y quand il existe une application injective de X dans Y.
Le théorème de Cantor-Bernstein montre que s'il y a une application injective de X dans Y et une application injective de Y dans X, alors il y a une application bijective de X sur Y. Dans ce cas le cardinal de X est égal au cardinal de Y (X et Y sont équipotents).
Il y a une application injective de
dans
: l'inclusion, tout simplement. Il n'y a aucune application injective de
dans
: s'il y en avait, le théorème de Cantor-Bernstein montrerait qu'il y a une bijection de
sur
, ce qui est exclu par l'argument diagonal de Cantor. Le cardinal de
, est donc strictement plus grand que celui de
.
Revenons sur l'argument diagonal de Cantor. Une variante simple montre qu'il n'y a pas d'application surjective de
dans
, l'ensemble des suites de 0 et de 1. En effet, si
est une application de
dans
, alors la suite
définie par
si
et
si
n'est pas dans l'image de
. Si l'on a écrit
sous forme d'un tableau dont les lignes sont les suites
,
etc. ce qu'on a fait est changer les 0 en 1 et vice-versa dans la diagonale du tableau pour fabriquer
.
L'ensemble
des parties de
peut s'identifier à
en associant à chaque partie
de
sa fonction caractéristique
définie par
si
et
sinon. Autrement dit,
est une bijection de
sur
. L'argument diagonal de Cantor que l'on vient d'expliquer se généralise alors de
à n'importe quel ensemble
pour montrer qu'il n'existe pas de surjection de
sur
, l'ensemble des parties de
. Voici comment :
Soit
une application de
dans
. Définissons la partie
de
comme l'ensemble des éléments
de
tels que
; dans le cas
, la fonction caractéristique de
est précisément le
construit plus haut. Alors
n'est pas dans l'image de
. En effet, supposons que
pour un élément
de
. Si
, alors
par définition de
: absurde. Si
, alors, par définition de
,
: absurde. Ceci montre qu'aucune application de
dans
n'est surjective.
On a une application injective de
dans
: celle qui envoie chaque élément
de
sur le singleton
. Il n'y a pas d'application injective de
dans
d'après le théorème de Cantor-Bernstein et le fait qu'il n'y a pas de surjection de
sur
. Le cardinal de
est donc strictement plus petit que celui de
.
Supposons
infini. On se retrouve avec pléthore de cardinaux infinis différents : ceux de
. C'est un résultat élémentaire de théorie des ensembles.