Question arithmétique modulaire : ordre & congruence

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vivelesmaths75
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question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par vivelesmaths75 » 27 Nov 2022, 22:28

Bonjour,

Voilà un moment que je réfléchis sur l'équivalence à démontrer ci-dessous :

si m ≥ 1 et que a^m ≡ 1[n], alors

m est l’ordre de la classe de a modulo n si et seulement si a^(m/p) !≡ 1[n] pour tout facteur premier p de m

Le sens réciproque ' <= ' me bloque : j'essaie de raisonner par l'absurde, on a a^(m/p) !≡ 1[n], on suppose o(a) != m, donc il existe k de Z tel que m = o(a).k, puis j'ai a^((o(a).k)/p) ≡ 1[n] mais même en décomposant k en facteur premier je ne trouve pas d'idée...

Je suis volontier preneur d'un peu d'aide, bien cordialement, Yann.



GaBuZoMeu
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par GaBuZoMeu » 27 Nov 2022, 23:12

Bonsoir,

Si et que l'ordre de n'est pas , c'est que cet ordre est un diviseur strict () de .

vivelesmaths75
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par vivelesmaths75 » 27 Nov 2022, 23:26

Bonsoir GaBuZoMeu,

Oui j'ai essayé d'exploiter celà aussi quand j'utilise m = o(a).k avec k de Z, où o(a) est l'ordre de a.

Bien cordialement

GaBuZoMeu
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par GaBuZoMeu » 27 Nov 2022, 23:44

Et tu ne vois pas comment interviennent les m/p pour p parcourant l'ensemble des diviseurs premiers de m, dans cette histoire de viviseur strict ???

vivelesmaths75
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par vivelesmaths75 » 28 Nov 2022, 15:20

Je crois que si, j'avais développé l'idée suivante :

m = o(a).k => o(a) = m/k +> a^m/k ≡ 1 [n] avec k de Z. On a k = p1...pX en décomposition de nombres premiers distincts, d'où : a^m/(p1...pX) ≡ 1. Et on a a^m/p !≡ 1 [n] pour tout nombre premier p. Toutefois, la multiplication par des congruences !≡ 1 ne dit pas que le résultat est !≡ 1, voilà où je bloque.

Mais je crois avoir trouvé une solution : o(a) = d divise m, donc il existe au moins 1 facteur premier p tel que p divise d et m -> s'il y en a que 1 : on a a^m/p != 1 [n], mais m/p = d dans ce cas, or a^d = 1 [n] : absurde...
Si y en a au moins 2 : on en prend un 'p' tel que p divise m mais pas d (il existe car autrement a = m vu que a divise m), i.e on prend un p qui divise, considérant : m = d.k , k mais pas d : on a a^m/p != 1 [n], mais d divise m/p donc a^m/p = 1... QED ?

Bien cordialement,

Yann

GaBuZoMeu
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par GaBuZoMeu » 28 Nov 2022, 15:44

Assez embrouillé ton histoire ! Tout simplment, si est un diviseur strict de , alors il existe un facteur premier de tel que divise .

vivelesmaths75
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par vivelesmaths75 » 29 Nov 2022, 17:19

C'est noté merci!

GaBuZoMeu
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Re: question arithmétique modulaire : ordre & congruence

par GaBuZoMeu » 30 Nov 2022, 00:45

Avec plaisir.

 

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