Suite de compacts

[Samoth]

Bonjour,

Je considère une application continue f de E dans F, avec E et F des espaces métriques, et une suite décroissante de compacts non vides.
J'ai démontré que l'intersection de tous ces compacts est non vide.
On souhaite maintenant démontrer que .

Alors, on a toujours .

Pour montrer que , j'ai commencé ainsi : soit , et donc pour tout . Par ailleurs, puisque f est continue et que est compact pour tout n, alors est un compact.
Egalement, est fermé dans pour tout .

Bon, ce n'est pas que j'ai rien fait après, c'est que j'ai fait plein de trucs qui tournent en rond ou n'aboutissent pas. Notamment, j'ai essayé de passer par les suites.

Avez-vous une indication ?

[issoram]

Bonjour,

Pour t'aider à continuer:

Soit
Alors, on considère la suite

[mathelot]

Bonsoir,

soit une suite de compacts emboités d'un espace métrique E, i.e,


une suite de points tels que
On suppose la suite convergente de limite .

alors



démonstration par l'absurde:
Supposons

Le complémentaire de , noté est un ensemble ouvert contenant .
Il existe donc une boule ouverte, ,r>0, telle que .
La suite converge vers L. En conséquence,
.

donc . Contradiction.

En conclusion,

[Samoth]

Bonjour Mathelot, et merci pour ta réponse. Je ne regarde pas pour l'instant, car j'essaye de voir d'abord ce qui cloche dans mon raisonnement avec l'indication d'issoram.

Bonjour Issoram, je reprends donc ton indication.

Bonjour,

Pour t'aider à continuer:

Soit
Alors, on considère la suite

Bonjour Issoram, et merci pour l'indication.
Soit donc . On cherche à montrer que .
On considère la suite telle que avec pour tout .
Puisque est compact pour tout , alors pour tout , il existe une sous-suite de , que je note qui converge dans , et notons sa limite.
Par continuité de , on obtient que converge vers .

Je continue

[tournesol]

Bonjour mathelot
Subtile ta suite convergente xn telle que pour tout n xn appartient à Kn:
Soit une suite yn telle que pour tout n yn appartient à Kn,
Elle admet une sous suite convergente ys(n)
Mais comme s(n) est supérieur ou égal à n , ys(n) appartient à Kn.
On pose alors xn=ys(n)

[mathelot]

Bonjour mathelot
Subtile ta suite convergente xn telle que pour tout n xn appartient à Kn:

Merci à Issoram, grâce à lui, les démonstrations avancent.

Pour simplifier le raisonnement, on peut supposer , dans un premier temps, que la suite est convergente.

[issoram]

Bonjour Samoth,

Puisque est compact pour tout , alors pour tout , il existe une sous-suite de , que je note qui converge dans , et notons sa limite.
Par continuité de , on obtient que converge vers .

- Les éléments de la suite sont tous dans compact (puisque les compacts sont emboîtés de manière décroissante), donc on peut extraire une sous-suite convergente de

- A ce stade, tu peux juste dire que la limite de la sous-suite est dans .
Il faut montrer que cette limite est dans

- Ensuite on peut conclure grâce à la continuité de en précisant ce que tu as écrit.

[mathelot]

Qu'est-ce qu'une extractrice ?

Soit
L'image d'une extractrice est par exemple
On note l'extraction des indices par . est une application de N dans N
strictement croissante, donc injective.
Dans mon exemple, on a :

on note la suite extraite


Des extractrices qui servent souvent sont par exemple:
ou (sous suite des termes d'indices pairs,sous-suite des termes d'indices impairs)
On a les propriétés suivantes:
a)
b) si a pour limite L , alors a pour limite L, la réciproque étant fausse.
ici, dans cette conversation,
on ne sait pas si a une limite, par contre la suite extraite en a une , de limite.
c) est un ensemble infini

[Samoth]

Bonjour Samoth,

Puisque est compact pour tout , alors pour tout , il existe une sous-suite de , que je note qui converge dans , et notons sa limite.
Par continuité de , on obtient que converge vers .

- Les éléments de la suite sont tous dans compact (puisque les compacts sont emboîtés de manière décroissante), donc on peut extraire une sous-suite convergente de

- A ce stade, tu peux juste dire que la limite de la sous-suite est dans .
Il faut montrer que cette limite est dans

- Ensuite on peut conclure grâce à la continuité de en précisant ce que tu as écrit.

Merci pour ces étapes.
Pour le deuxième point, je vois les choses ainsi : de la suite dont tous les éléments sont dans , on peut ne considérer que les éléments de .
étant un compact, on peut extraire de une sous-suite qui converge vers dans . Mais puisque que converge, alors et donc .
Puis on continue le processus...

[issoram]

Pour le deuxième point, je vois les choses ainsi : de la suite dont tous les éléments sont dans , on peut ne considérer que les éléments de .
étant un compact, on peut extraire de une sous-suite qui converge vers dans . Mais puisque que converge, alors et donc .
Puis on continue le processus...

C'est peut-être un peu lourd et compliqué...

Puisque les compacts sont emboités de manière décroissante et comme est une suite strictement croissante d'entiers naturels :

Soit quelconque, il existe tel que
Ainsi :


Que peut-on en conclure pour la limite de ?

[mathelot]

Puisque les compacts sont emboités de manière décroissante et comme est une suite strictement croissante d'entiers naturels :



Que peut-on en conclure pour la limite de ?

erratum: il faut lire "Que peut-on en conclure pour la limite de

[issoram]

Merci mathelot, oui c'est bien une erreur de frappe. Rien ne t'échappe

[Samoth]

Bonjour et merci à vous.

Donc, j'avais l'idée ? ^^
Je vais rédiger une solution complète.

Merci encore pour ces échanges pédagogiques et instructifs ! C'est chouette

[issoram]

Bonjour,

Oui c'était l'idée: à partir d'un certain rang, comme les compacts sont emboîtés, les éléments de la suite sont tous dans "le compact suivant". Ton idée d'extractions successives de sous-suites revient presque au même finalement, en un peu plus compliqué.

[mathelot]

Bonjour,

@samoth, je termine la preuve que ça puisse donner des idées;

Montrons que

Soit


Comme les compacts sont emboités,
étant compact , on extrait de une sous-suite convergente:
soit son extractrice.
on a:
La suite vérifie .
a pour limite quand n tend vers l'infini.

On a montré que
donc



Comme f est continue , en faisant tendre n vers l'infini, on obtient:
f(L)=y
d'où , ce qui termine la démonstration.

[mathelot]

Merci encore Issoram.

[issoram]

La suite vérifie .

Plus précisément:

Merci encore Issoram.

Merci à toi pour ce récap