Fonction bijective et réciproque bijective ?

[AmauryDLV]

Bonjour

Je me pose deux questions, dont je n'ai pas trouvé les réponses sur le net.

a) Est-il possible qu'une fonction bijective ai une réciproque qui n'est pas bijective ?
Intuitivement je dirais oui, mais j'aimerai en avoir la certitude.
Avez vous un exemple ?
Y a t-il un nom pour ça ?

b) Comment appelle t-on une fonction bijective dont la réciproque est aussi bijective ?

Merci par avance

[catamat]

Bonjour

Lire par exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection_réciproque

Rien que le titre donne la réponse on parle de bijection réciproque....

[mathelot]

Bonsoir,
soient deux ensembles E et F, f une application de E vers F et g l'application réciproque de f, définie de F vers E.
Pour un ensemble X, on note l'identité de X définie par :


f et g étant réciproques l'une de l'autre, nous avons:
où "" représente la composition des applications.

Montrons que g est injective:
soient u et v des éléments de F:

on compose par f




Montrons que g est surjective:




conclusion: toute application réciproque d'une bijection est bijective.

[AmauryDLV]

Bonjour et merci pour vos réponses.
Wikipedia n'étant pas explicite sur ce point précis (ma question a) ni ne donnant la démonstartion, c'est pour cela que j'ai posé la question.
Pour ma question b) elle ne se pose plus vraiment, étant donné qu'il ne peut pas y avoir de fonction bijective dont la réciproque n'est pas bijective.
Bonne journée

[mathelot]

Il faut prêter attention aux ensembles de départ et d'arrivée d'une application; voici quelques exemples:



f n'est ni injective ni surjective



g est injective mais pas surjective



h est surjective mais pas injective



m est surjective et injective, m est bijective. Sa fonction réciproque est la racine carrée.

[mathelot]

On va s'intéresser aux liens entre "bijection" et "application réciproque".

Exemple de compositions des applications:
soit



inverses et bijections
Soient deux ensembles E et F non vides
Soit une application
définition: f est inversible à gauche s'il existe une application de F vers E telle que


définition: f est inversible à droite s'il existe une application de F vers E telle que


Propriétés:
f est injective (f est inversible à gauche)

si on utilise l'axiome du choix:
f est surjective (f est inversible à droite)

remarque: j'écrirai les démonstrations si quelqu'un les demande .