J'ai eu des problèmes de connexion hier et avant-hier, et je n'ai donc pas pu consulter vos deux dernières réponses. J'ai entrepri de résoudre l'exercice avec les pistes que vous m'aviez fournies précédemment. Je pense avoir réussi et je propose: En traçant les segments [GE], [EF] et [AE], on fait apparaître les triangles AFE, AGE et AHE ayant en commun l'hypothénuse [AE].
Nous obtenons 3 cas de figure à traiter:
1) Nous savons que
le triangle AHE est rectangle en H2)
hypothèse: G milieu de [AC] et E milieu de [BC]
théorème: dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux des côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
conclusion: (AB)//(GE)
Comme les droites (AB) et (GE) sont parallèles et que la droite (AC) est perpendiculaire à (AB), alors (AC) est perpendiculaire à (GE).
Le triangle AEG est donc rectangle en G.3)
hypothèse: F milieu de [AB] et E milieu de [BC]
théorème: dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux des côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
conclusion: (FE)//(AC)
Comme les droites (FE) et (AC) sont parallèles et que la droite (AB) est perpendiculaire à (AC), alors (AB) est perpendiculaire à (FE).
Le triangle AFE est donc rectangle en F.[CENTER]fin des raisonnements:[/CENTER]
hypothèse: AGE= 90°, AFE= 90°, AHE= 90°
théorème: si un triangle est rectangle, alors il s'inscrit dans un cercle dont l'hypothénuse est un diamètre.
conclusion: _ G est sur le cercle de diamètre [AE]
_ H est sur le cercle de diamètre [AE]
_ F est sur le cercle de diamètre [AE]
Les points E, F, G, A, et H sont cocycliques; ils sont sur le même cercle de diamètre [AE].
