Recherche de primitive

[Ancelade]

Bonjour tout le monde,

C'est un problème de physique mais le développement est purement mathématique.
Je souhaite calculer les équations de vitesse et de position d'un projectile de vitesse initiale 1/K sur lequel seule la résistance de l'air est appliquée, donc sans pesanteur(la trajectoire est rectiligne). En partant de la 2e loi de Newton j'ai obtenu une équation de la vitesse qui semble satisfaisante :
v(t)=1/(Rt+K)
Avec R et K constantes

La primitive que je trouve, en revanche, me donne des applications numériques délirantes. J'ai :
x(t)=ln(Rt+K)/R + cst (cst=0)

J'ai beau refaire le calcul je ne vois pas où peut être mon erreur.

[mathelot]

bonsoir,
ton calcul est correct. La seule chose que l'on puisse modifier
est l'ajout d'une valeur absolue dans le log.

x(t)=ln(|Rt+K|)/R

[Ancelade]

Rah ça m'embête. Ça veut probablement dire que mon problème est en amont. Si je développe les étapes précédentes, tu saurais dire où est le problème ?
Merci pour la rapidité de ta réponse.

[mathelot]

on peut toujours essayer

[Ancelade]

La seule force qui s'applique au système est la résistance de l'air F=0,5.Cx.S.p.(v^2)
Cx, coefficient de résistance aérodynamique (=0,4)
S, maître couple(=1)
p, masse volumique de l'air (=1,22)
v, la vitesse de l'objet

D'après le PDF :
m.a=-F
On note R=(0,5.Cx.S.p)/(2.m) :
a=-R.(v^2)
a=v' (dérivée) donc :
v'/(v^2)=-R
Je pensais passer par la résolution d'une equa diff mais on a une primitive évidente de v'/(v^2) qui vaut -1/v donc par intégration :
1/v=Rt + K
(K est une constante)
v(t)=1/(Rt+K)

La vitesse initiale vaut 24,2m/s donc pour t=0 :
v(0)=1/K
K=1/24,2

Et voilà.

[mathelot]

je trouve
1/v=Rt-K
il y a une erreur de signe.

[Ancelade]

Pourquoi le signe est négatif ici ? On additionne bien une constante d'habitude
Qui plus est...ça ne change pas vraiment mon problème. La primitive x(t) reste quasiment la même et l'application numérique reste tordue.
J'ai calculé en t=1, on devrait avoir une valeur entre 20 et 24m, la distance parcourue par le projectile en 1s avec une vitesse proche de 24,2m/s. Mais je trouve -941
Avec K=0,041
R=0,0035

[mathelot]

Pourquoi le signe est négatif ici ? On additionne bien une constante d'habitude

v'/v^2=-R
on intégre:
-1/v=-Rt+K
on multiplie par -1
1/v=Rt-K

Qui plus est...ça ne change pas vraiment mon problème. La primitive x(t) reste quasiment la même et l'application numérique reste tordue.
J'ai calculé en t=1, on devrait avoir une valeur entre 20 et 24m, la distance parcourue par le projectile en 1s avec une vitesse proche de 24,2m. Mais je trouve -941
Avec K=0,041
R=0,0035

il y a un problème avec R ? si on le calcule avec les hypothèses, on trouve R=0,122/m

[mathelot]

en résumé, tes calculs sont justes. Alors, soit il y a une erreur de signe dans l'équation différentielle,
soit il y a un problème avec la valeur des constantes.Ceci écrit, une primitive de 1/x est ln(|x|), définie sur R*

[Ancelade]

J'ai compris ton développement pour le signe mais -désolé si je fais une erreur de boulet, je la vois pas- quand je multiplie par -1 avant l'intégration, le signe disparaît et je tombe sur 1/v=Rt+K


Je me suis trompé dans mon texte plus haut,von a R=CxSp/2m
(Pas de 0,5 au numérateur) mais c'était une faute de frappe. J'ai pris m=70kg (un humain) donc on tombe bien sûr 0,0035.

[mathelot]

je conjecture que ce sont tes constantes qui sont erronées.
si on a;
x(t)=(1/0.0035)ln(0.0035t+0.041)
quand on fait x=0 ou x=1, on trouve un log négatif

[mathelot]

J'ai compris ton développement pour le signe mais -désolé si je fais une erreur de boulet, je la vois pas- quand je multiplie par -1 avant l'intégration, le signe disparaît et je tombe sur 1/v=Rt+K

oui, je suis d'accord

[Ancelade]

je conjecture que ce sont tes constantes qui sont erronées.
si on a;
x(t)=(1/0.0035)ln(0.0035t+0.041)
quand on fait x=0 ou x=1, on trouve un log négatif

Oui, probablement. t=1 tu voulais dire (édit: oubli ça)?Je vais réexaminer tout ça

[Ancelade]

J'ai vérifié mes constantes. R est juste, je vais détailler en dessous. Je ne vois que K qui peut être le problème.

•R=0,5.Cx.S.p/M
avec :
M=70kg
Cx=0,7
S=0,7m2
p=1,22kg/m3
J'ai ajusté ces valeurs après avoir parcouru moultes sites et exercices pour m'assurer de leur cohérence.
On obtient donc R=0,0043


•K est obtenu simplement avec l'équation de la vitesse :
v(t)=1/(Rt+K)
On évalue en t=0 pour déterminer K, sachant que la vitesse initiale vaut v(0)=24,2m/s.
Il vient :
K=1/24,2
K=0,041
Est-ce que j'ai raison de déterminer K de cette manière ? J'ai pris un raccourcis ?

Je voulais aussi revenir sur cette question du signe de K dans l'équation de la vitesse. Je n'ai pas compris où était l'erreur.

[Ancelade]

Ça y est on m'a aidé à trouver l'erreur toute bête, aïe aïe aïe. Lors de l'intégration de v(t) en x(t) il faut ajouter une constante. J'ai naïvement pensé que cette constante valait 0 parce que la position initiale était x=0 mais non...

Donc on a :
x(t)=(1/R).ln(Rt+K)+C
Avec C=743

On obtient bien :
x(1)=23,4m

Merci Mathelot pour ton aide ! Mais du coup, je sais toujours pas. C'est +ou- K ?

[mathelot]

Mais du coup, je sais toujours pas. C'est +ou- K ?

Ça n'a pas d'importance,ca doit donner la même valeur numerique

[Ancelade]

C'est ce que j'espérais, mais avec -K la courbe de v(t) a un comportement asymptotique en t=K/R=9,5s ce qui n'a pas de sens.
Cette asymptote est en -9,5 avec +K et donc ne pose pas de problème.