Exercice sur les suites (bac C 1989)

[piquesel]

Bonjour les amis,

Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de mains SVP sur un exo d'un sujet du baccalauréat de 1989 ?
Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n. On donne aussi la suite définie par .
La première question est triviale puisqu'il faut montrer que pour tout entier n, est positif. En supposant que pour p entier , on procède par récurrence pour montrer que .
Je bute par contre sur la seconde question où il faut montrer que la suite est décroissante.
J'ai simplement calculé afin de montrer que . Sauf que j'obtiens ce qui m'amène à conclure l'inverse . C'est moi qui débloque où c'est l'énoncé qui est faux ? Je ne peux y croire car c'est l'original du bac dont le sujet est ici : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_gr-II__C_juin_1989.pdf.

Par avance merci pour votre aide.

[mathelot]

Bonsoir,
oui, c'est une coquille. La suite est croissante. De plus, à la question suivante, on demande de montrer qu'elle tend vers

[Rdvn]

Bonsoir
1a
u(n) >0 pour tout n, entier naturel : OK par récurrence
1b
il y a manifestement une erreur dans l'énoncé :
S(n) est une somme de de termes tous positifs , donc la suite ( S(n) )est une suite croissante
il faut lire ( u(n) ) est une suite décroissante
Bon courage

[Rdvn]

@ mathelot
désolé, nos deux réponses se sont croisées

[piquesel]

Ah ! Merci bien pour vos réponses rapides

[piquesel]

Question annexe SVP :
pour la seconde question : prouver que , je n'arrivais à rien en prenant le logarithme népérien de chaque côté. La récurrence m'a aussi conduit dans une impasse.
J'ai finalement trouvé un exercice similaire sur un forum où ils introduisent une suite intermédiaire . A partir de là, ça va tout seul dès lors qu'on a puisqu'on finit par trouver en ajoutant tous les membres que . Il est alors facile de conclure.

Pensez-vous qu'il existe un moyen plus direct ?

[Rdvn]

Bonjour
Je n'ai pas le temps de travailler sur (Wn)
En revanche j'avais fait la récurrence, sans problème :
pas de problème pour n=0
hérédité : partir de exp(-Sn+1)
Bon courage
Je laisse la main à un autre membre du forum pour aujourd'hui

[piquesel]

Merci Rdvn. Je vais retenter par récurrence alors. J'ai dû manquer qqch.

[piquesel]

Effectivement, la récurrence n'est pas si compliquée. J'aurais dû persévérer ! Merci à tous pour votre aide. Ce sujet est maintenant clos.

[lyceen95]

L'exercice suivant commence par une autre belle coquille !
Soient A, B et C quatre points distincts de l’espace.