Théorème de factorisation

[titov]

Bonjour, voici le contexte :

Soit E un ensemble et A un sous-ensemble non vide de E. On définit sur P (E) la relation R
suivante :
∀X,Y ∈ P (E), X RY ⇔ A ∩ X = A ∩Y.

(a) En appliquant le théorème de factorisation, trouver une bijection θ entre P (E)/R
et P (A).
(b) L’application θ est-elle un isomorphisme d’anneaux ?

Je n'arrive pas à résoudre ces questions, quelqu'un pourrait m'aider svp

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
On te parle de théorème de factorisation. Cela pousse à passer par une application surjective de sur . Or tu en as une qui t'es pratiquement donnée dans l'énoncé.

[issoram]

Bonjour,

Pour appliquer le théorème de factorisation, il te faut d'abord montrer que la relation R donnée est une relation d'équivalence.
Ensuite, relis bien ton théorème, l'application bijective demandée ne devrait pas être trop compliquée à trouver.

[GaBuZoMeu]

La première phrase du message d'issoram est inexacte.
Dans le cas présent, il vaut mieux d'abord identifier l'application surjective qui convient de sur . Le fait que est une relation d'équivalence vient alors tout seul.
Rappel : soit une application surjective. Alors la relation est une relation d'équivalence sur , et induit une bijection du quotient de par cette relation d'équivalence sur .

[titov]

Merci beaucoup pour ces éclaircissements, bonne soirée.

[GaBuZoMeu]

Quelle surjection ?

[titov]

L'application f de P(E) dans P(A) telle que

f(X)= A ∩ X ?

[GaBuZoMeu]

Quoi d'autre en effet.
As-tu résolu b) ? Quelle structure d'anneau sur ?

[issoram]

La première phrase du message d'issoram est inexacte.

L'ensemble n'a de sens que si est une relation d'équivalence. Il faut donc bien s'assurer que c'est le cas. Que ce soit en identifiant l'application surjective de dans ou d'une autre manière.

[titov]

Quoi d'autre en effet.
As-tu résolu b) ? Quelle structure d'anneau sur ?

J'ai pensé que c'était bel et bien un isomorphisme d'anneaux car la relation R était égale à la relation d'équivalence modulo Ker(f) et que donc teta induisait un isomorphisme de P(E)/Ker(f) dans P(A)

[GaBuZoMeu]

Je répète ma question : quelle structure d'anneau ?

[titov]

Un isomorphisme d'anneaux donc ?

[GaBuZoMeu]

QUELLES STRUCTURE D'ANNEAU ?
Quelle addition ? Quelle multiplication ?

[titov]

L'addition est la différence symétrique et la multiplication est l'intersection

[GaBuZoMeu]

Ah ! Enfin !
Alors est-ce que la surjection que tu prends est un homomorphisme pour cette structure ?