Primitive et bénéfice

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marc0056
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Primitive et bénéfice

par marc0056 » 01 Nov 2022, 12:18

Bonjour, je me permets de vous écrire car je rencontre une difficulté dans l'exercice suivant :

Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l’entreprise est de 21 trottinettes. Le bénéfice, en euro, réalisé par l’entreprise pour la fabrication et la vente de x trottinettes, est donné par la fonction : B(x) = -2x3 + 50x² - 252x
1) a) Montrer que B(x) = -2x(x – 7)(x – 18).
b) Etudier le signe de B(x) sur [0 ;21].
c) En déduire la quantité de trottinettes qu’il faut fabriquer et vendre pour réaliser un bénéfice positif.

2) On admet que le bénéfice moyen réalisé lorsque l’on fabrique et vend entre 0 et 21 trottinettes est donné par le formule 1/21 (F(21) – F(0)), où F est une primitive de f.
a) Donner une primitive F de f.
b) En déduire le bénéfice moyen réalisé lorsque l’on fabrique et vend entre 0 et 21 trottinettes.


Pour le 1), aucun problème. Par contre, pour le 2), je ne comprends pas bien la question : quelle est la fonction f pour laquelle je dois donner une primitive ?

Merci beaucoup d'avance pour vos idées ou conseils pour avancer dans cet exercice.



phyelec
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Re: Primitive et bénéfice

par phyelec » 01 Nov 2022, 14:11

Bonjour,

voici quelques éléments pour vous guider :
On appelle fonction primitive de la fonction d'une variable f(x), une fonction F(x) telle F'(x)=f(x)
exemple : la fonction admet comme primitive où C est une constante .

on a la définition sur un intervalle [a,b]


phyelec
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Re: Primitive et bénéfice

par phyelec » 01 Nov 2022, 14:12

erratum lire F(b)-F(a) sur la dernière ligne.

marc0056
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Re: Primitive et bénéfice

par marc0056 » 01 Nov 2022, 15:35

Bonjour, merci à vous pour le conseil.

Voici ce que j'ai fait :

en considérant f(x)=-2x3 + 50x² - 252x, j'ai calculé une primitive F:

F(x)= -2x^4/4 + 50x^3/3 - 252x^2/2 + C
F(x)= -1/2 x^4 + 50x^3/3 -126x^2 + C

Ensuite, j'ai calculé:
F(21) = 1543,50€
F(0) = 0

D'où un bénéfice moyen = 1/21 (F(21) - F(0)) = 1/21 (1543,50 - 0) = 73,50€

Est-ce que cela vous semble correct?

Merci beaucoup.

phyelec
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Re: Primitive et bénéfice

par phyelec » 01 Nov 2022, 15:45

oui . Mais j'ai une question : Qu'avez-vous trouvé pour la constante C.

marc0056
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Re: Primitive et bénéfice

par marc0056 » 01 Nov 2022, 16:31

Je suis parti du fait que C=0 (et donc j'ai donné "une" primitive avec C=0), car je n'ai pas de valeur particulière de la primitive. Est-ce correct?

phyelec
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Re: Primitive et bénéfice

par phyelec » 01 Nov 2022, 19:34

non, on ne peut pas partir du fait que C=0. Mais on peut calculer la valeur de C en utilisant ce que l'on sait de F(0), en effet si on prend la primitive on a F(0)=C mais on sait que F(0)=0, donc F(0)=C=0 donc C=0.

Prenez-bien note que la constante ne vaut pas toujours 0. On trouve sa valeur grâce aux valeurs de la primitive que l'on connaît.

marc0056
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Re: Primitive et bénéfice

par marc0056 » 01 Nov 2022, 20:01

Oui, effectivement, si l'entreprise ne vend aucune trottinette (x=0), le bénéfice sera alors de 0 (F(0)=0). Dans ce cas, je peux calculer C, qui sera égal à 0.

Merci beaucoup pour vos conseils !

 

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