Convexité d'une fonction

[MathsetZinc]

Bonjour à tous!

On m'a donné ces tableaux de variations d'une fonction et de sa dérivée et je dois répondre à quelques questions à l'aide de ceux-ci: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/43/16e6.jpg

On m'a précédemment demandé de montrer qu'une équation de la tangente à la courbe de f en x=5 est y=-2x+11

Pour cela aucun problème avec la formule y=f'(a)(x-a)+f(a)

Ensuite, on me demande de montrer si pour tout réel x de [1,5;8], f(x)<-2x+11

Je n'ai également aucun problème à l'expliquer, or je me posais une question:

On sait que f est concave sur [1,5;8] (dar f' décroissante sur [1,5;8])

Ainsi sa courbe sera toujours en dessous de ses tangentes sur [1,5;8]
En particulier en dessous de la courbe C de f en son point d'abscisse 5

Donc pour x appartenant à [1,5;8] f(x)< -2x+11

Cependant, comment savoir si toutes les tangentes admettent y=-2x+11 sur [1,5;8], car au final ici nous le savons que pour x=5?

Merci d'avance!

[Sylviel]

Bonjour

Cependant, comment savoir si toutes les tangentes admettent y=-2x+11 sur [1,5;8]

Que veux tu dire avec cette phrase ?

Ce que dis la concavité c'est que la courbe est en dessous de n'importe quelle tangente (ici celle qui est exacte
en x=5) certainement pas que la tangente est la même partout (sinon la courbe serait affine sur [1.5;8].
D'ailleurs en 8 son coefficient directeur est -7, pas -2.

[MathsetZinc]

Bonjour!

Par la phrase "Cependant, comment savoir si toutes les tangentes admettent y=-2x+11 sur [1,5;8]", je voulais savoir si toutes les tangentes sur [1,5;8] admettaient comme équation y=-2x+11 (ce qui est idiot quand j'y repense...)

Ce que je ne comprends pas, ici, c'est comment démontrer, en sachant que f est concave sur [1,5;8] (donc en dessous de ses tangentes) et que la tangente en x=5 admet comme équation y=-2x+11, que pour tout x de [1,5;8], alors f(x)< -2x+11
Car pour l'instant, il n'y a qu'en x=5 que la tangente admet comme équation y=-2x+11, et donc que f(x)< -2x+11, pas pour les autres valeurs de x...

Merci!

[lyceen95]

Regarde la définition de fonction concave, par exemple sur wikipedia.
Regarde les dessins proposés.
Tu vois que si on dessine la tangente en n'importe quel point, la courbe est toute entière en-dessous de la tangente.
Même si la tangente n'est jamais la même.

Et pour une fonction convexe, idem, sauf que la courbe est maintenant systématiquement en dessus de toutes les tangentes.
Et sinon, on a les fonctions comme les fonctions sinusoïdales, qui peuvent être concaves sur un intervalle, et convexes sur un autre.

Ici, tu as l'information que ta fonction est concave. Donc c'est fini, la courbe est en-dessous de toutes ses tangentes, y compris de la tangente au point 5.

[MathsetZinc]

Re,



Une fonction convexe est, en effet, toujours en dessous de ses tangentes.

Cependant, seul la tangente en x=5 admet comme équation y=-2x+11

Par exemple, en x=8, la tangente admet comme équation y=-7x+50
Ainsi, dans le cas de x=8, f(x)<-7x+50 et non f(x)<-2x+11
Même chose pour x=1,5: peut-être que cette tangente admet une autre équation "supérieure" à -2x+11...

Donc comment prouver que pour tout x appartenant à [1,5;8] que f(x)<-2x+11? car, même si Cf est toujours en dessous de ses tangentes sur [1,5;8], peut-être qu'une tangente à un certain point admet une équation changeant l'inégalité...

Merci!