√(2√(2√(2√(√2) ) ) ) converge t-elle

[LZIN]

bonjour
je suis coincée à cette exercices est ce que vous pourriez m'aidez merci
https://fromsmash.com/mathiage

[mathelot]

Bonjour,
on pose . La fonction f est elle croissante ? décroissante ?


Qu'est ce que l'on peut en déduire pour la suite ?

quels sont les points fixes de f ,i.e, les racines de l'équation x=f(x) ?
f admet comme points fixes 0 et 2. Montrer que la suite (x_n) est majorée par 2.
En déduire que la suite est convergente et que sa limite est 2 quand tend vers l'infini.

[LZIN]

Merci grâce à toi je pense avoir réussi
mais est ce que tu pourrais voir ci c'est cela Merci

https://fromsmash.com/image23456

[Sylviel]

Bonjour,

il y a de bons éléments mais cela manque de précision par endroit.

Il faut
1) montrer que la fonction est croissante (ok, mais peut sans doute s'argumenter sans calculer la dérivée)
2) montrer que la suite est croissante (argumentation au mieux peu claire, le mieux est de procéder par récurrence)
3) montrer que la suite est majorée (pas fait, se fait aisément par récurrence)
4) en déduire que la suite converge
5) calculer les limites possibles et en déduire la limite de la suite

[mathelot]

pour tout entier n,


la fonction f est strictement croissante sur (comme composée de deux fonctions strictement croissantes) et envoie sur

démo de la croissance de la suite :

on fait l'hypothèse de récurrence:
n entier 1 ,
on compose par f:

donc est héréditaire.
Comme elle est initialisée à n=1, elle est donc vraie pour tout entier

[LZIN]

Merci
est ce que c'était juste le seul problèmes

[mathelot]

démo de la majoration de (u_n):


on fait l'hypothèse de récurrence

en composant par f:


Donc est héréditaire et initialisée pour n=0. Elle est donc vraie quel que soit n .
donc est majorée par 2.

[mathelot]

Merci
est ce que c'était juste le seul problème

non, il y a la majoration de la suite et la démo que sa limite est 2.

[mathelot]

La suite est croissante, majorée, elle converge vers une limite l strictement positive.
on a:

La fonction f étant continue sur R+*, on a:

donc la limite l vaut 0 ou 2.
Comme , la limite de la suite ) est 2.

[mathelot]

Merci
est ce que c'était juste le seul problèmes

Je pense que globalement, il te manquait deux démonstrations par récurrence.
Si tu es en Terminale, c'est au programme. Si tu es en classe de Première, c'est plus délicat.

[LZIN]

Merci beacoup
je vais appliquer tes conseils et je suis en terminal