Arithmétique

[123XTZ]

Bonsoir s'il vous plaît je suis coincé à la dernière question de cet exercice
On considère l'équation:36x+25y= 5 pour x et y entiers relatifs.
1. Montrer que pour toute solution (x, y), x est multiple de 5.
2. Déterminer une solution particulière de l'équation, puis la résoudre.
3. Soit d le plus grand commun diviseur de x et y lorsque (x, y) est solution de l'équation.
a. Quelles sont les valeurs possibles de d?
b. Quelles sont les solutions pour lesquelles x et y sont premiers entre eux ?

Voici mes réponses
1. 36x=5(5y + 1), 5 divise 36x et 5 est premier avec 36 donc 5 divise x.
2. Une solution particulière de l'équation est x = 5 et y = 7. L'équation est équivalente à: 36(x-5)=25(y-7). Or 25 divise 36(x-5), est premier avec 36 donc, d'après le théorème de Gauss, divise x-5; de même 36 divise y-7. Il existe donc k € Z tel que x = 25k +5 et y = 36k + 7 d'où la solution générale : x = 25k +5; y= 36k+7, k€z.
3. a. d divisant .x et y divise donc 5. Donc d € {1; 5}.
b. ???

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
5 divise toujours 25k+5. Quand divise-t-il 36k+7 ?

[123XTZ]

Bonjour merci pour votre réponse mais je ne comprends pas bien ce que vous voulez dire à propos de quand 5 divise 16k+7

[GaBuZoMeu]

Le pgcd de x=25k+5 et y=36k+7 (c'est bien toi qui a trouvé cette solution générale, non ?) est 5 si et seulement si 5 divise 36k+7.

[123XTZ]

Oui Exactement pgcd(x;y) = 5 donc 5/36k+7
Mais je ne vois toujours pas comment trouver les solutions pour lesquelles x et y sont premier entre eux

[GaBuZoMeu]

Ben, ce sont celles pour lesquelles le pgcd n'est pas 5.

[123XTZ]

Si je comprends bien y ne doit pas être un multiple de 5 puisque x l'est déjà

[catamat]

Bonjour

Juste une remarque

Je suppose que l'équation de départ est 36x-25y=5 et non pas 36x+25y=5

sinon la solution particulière ne conviendrait pas.

[123XTZ]

Désolé vous avez raison c'est plutôt 36x-25y=5

[mathelot]

5|(36k+7) se réduit en 5|(k+2)

[123XTZ]

Lah je comprends donc la condition c'est que 5 ne doit pas diviser (36k+7) c'est à dire que 5 ne doit pas diviser( k+2)