Continuité

[Samoth]

Bonjour,

Je cherche à savoir si la fonction f définie par f(x)=0 si et f(x)=1 si x=1 est continue sur R.

Je propose que non, car et par exemple.

Qu'en pensez-vous ? Merci

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

J'en pense que ton est faux.

[Samoth]

Oui, je m'en suis rendu compte.
J'ai l'intuition que g n'est pas continue en 1.
Idée : prendre une suite (x_n) d'éléments de R qui tend vers x et tester si g(x_n) tend vers g(x).

[Samoth]

Voilà ce que je propose.
Soit une suite d'éléments de qui converge vers .

Soit .
Si , alors et donc et si , et donc .
Bon, après j'ai bien envie de dire que , et donc g n'est pas continue en 1, sans conviction.

Qu'en pesnes-tu ?

[Samoth]

Bonjour,

Si quelqu'un voit de la lumière et passe par là

[GaBuZoMeu]

Tu étais parti sur une bonne idée : . Après, ce qui montre la non continuité de en , c'est que .
Ce qui est peut-être attendu, c'est de montrer la non continuité en utilisant la définition avec des et des . Je te laisse y réfléchir.

[Samoth]

Bonjour, et merci pour ta réponse.

Voici ce que je propose, en utilisant les quantificateurs.
Soit d'éléments de qui converge vers .
Alors , tel que , autrement dit que .

Supposons que converge vers .
Alors , tel que .
On obtient alors que .

Et voilà la partie pour laquelle je ne suis pas du tout convaincu :
Ainsi, pour tout , on obtient que .
Or, si pour tout , alors et on obtient une contradiction.

Qu'en penses-tu ?
Merci

[GaBuZoMeu]

Version corrigée après la remarque de Samoth, pour coller à l'énoncé.
%%%%%%%%%%%%%%

Que ça me semble inutile de passer par la caractérisation séquentielle de la continuité.
Dire que est continue en , c'est dire (puisque )

Ce que tu veux montrer, c'est la négation

Coup de pouce : prendre me semble un bon départ pour montrer ça, vu que le saut que fait la fonction en est .

[Samoth]

Bonsoir,

Merci pour le coup de pouce. Je n'avais pas pensé à montrer la négation.
Par contre, pourquoi f(0)=1 ?
C'est plutôt des 1 à la place des 0 il me semble, non ?

[tournesol]

Demain matin j'aurais le temps de faire une synthèse sur cette question.

[Samoth]

Bonjour tournesol,

Je pense avoir trouvé également avec les indications de GaBuZoMeu.
Je posterai également dans la matinée.

[tournesol]

Savoir si cette fonction est continue sur R.
C'est facile à savoir:si pour tracer la représentation graphique de f on est obligé de lever son crayon de la feuille, alors la fonction n'est pas continue là où il a fallu lever le crayon.
Donc c'est évident f n'est pas continue sur R .
Maintenant qu'on le sait , il faut le démontrer.
Soit le prof à demandé l'usage de la définition,auquel cas son usage est incontournable.
Soit tu travailles perso ton cours sur la continuité.Dans ce cas tu essaies toutes les méthodes.
Sinon:f à variable réelle est continue en a ssi

Qui peut se traduire par : f est continue à gauche et à droite en a.
Dans notre exo on a et f(0)=1.
donc f n'est pas continue à gauche en 1 ,donc f n'est pas continue en 1.
n'est pas utile à priori sauf pour montrer que f n'est pas continue à droite en 1 .

[Samoth]

Bonjour tournesol,

Oui, graphiquement c'est évident, ou en tout cas ça se voit.

Merci pour ton retour.

En prenant epsilon=1/2 dans la négation de la continuité, ça se fait directement.

Merci pour votre aide !

[tournesol]

Que prends tu pour valeur de x telle que ?

[Samoth]

Bonsoir tournesal, ça va ?

Soit , posons .
Alors et .

[tournesol]

Parfait Samoth.