Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

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evanescente~ondine
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Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par evanescente~ondine » 12 Mai 2021, 01:11

Bonjour.
Je travaille sur le livre de Chrystal, Algebra 1 (an elementary textbook for the higher classes of secondary school). Je travaille seul, p94, exercice 47..
Mais à cette partie-là des exos, j'atteint ma limite, je ne sais plus avancer tout seul.

Voici l'énoncé: Montrer qu'une fonction polynomiale f(x) non rationnelle divisée par (x-a)(x-b), aura pour reste (f(b)(x-a) - f(a)(x-b))(b-a)

J'ai ce théorème (§22), qui est probablement la clé:
pour toute fonction f , f(x) = (x-a)Q(x) + f(a) = (x-a)(x-b)R(x) + (x-a)Q(b) + f(a) pour tant est que le degré de f est supérieur ou égale à 2.
Mais exprimé ainsi l'expression du quotient et du reste n'est pas symétrique... Je ne sais pas faire ressortir ce qui est demandé.

Merci de me donner un coup de main. Je vous serais infiniment reconnaissant.



catamat
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par catamat » 12 Mai 2021, 11:22

Bonjour

D'après le th le reste est (x-a)Q(b) + f(a)

Si on calcule Q(b) par f(x) = (x-a)Q(x) + f(a) , on trouve Q(b)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Donc le reste est

(x-a)(f(b)-f(a))/(b-a) + f(a)

en arrangeant on obtient le résultat voulu

(x-a)f(b)/(b-a) -(x-a)f(a)/(b-a) +f(a) = (x-a)f(b)/(b-a) -(xf(a)-af(a))/(b-a) +f(a)(b-a)/(b-a)
= (x-a)f(b)/(b-a) -(xf(a)-af(a)-bf(a)+af(a))/(b-a)
=(x-a)f(b)/(b-a) -(x-b)f(a)/(b-a)

evanescente~ondine
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par evanescente~ondine » 12 Mai 2021, 19:46

Merci.

J'ai compris que je n'arriveverai jamais à voir ce genre de chose sans énorme effort, ce qui ne vaut vraiment pas le coup. Je n'ai d'intérêt dans ces maths uniquement pour ce qui est d'apprendre à calculer dans des situations variées, mais bon réfléchir dans l'abstrait ça ne marchera jamais. Comment généraliseriez-vous ce résultat ?

evanescente~ondine
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par evanescente~ondine » 30 Sep 2022, 02:58

Est-ce que quelqu'un aurait assez de courage pour m'aider à la généralisation à a, b et c ?
Pour l'instant j'ai:
f(x) = S(x)(x-a)(x-b)(x-c) + R(c)(x-a)(x-b) - (f(b)(x-a) - f(a)(x-b))/(a-b)
or on a R(c) = [ f(c)(a-b) + f(b)(c-a) + f(a)(b-c) ] / (a-b)(b-c)(c-a)
donc on a le reste d'une division de f(x) par (x-a)(x-b)(x-c) =
(x-a)(x-b)[f(c)(a-b) + f(b)(c-a) + f(a)(b-c)]/(a-b)(b-c)(c-a) - f(b)(x-a) + f(a)(x-b))/(a-b)
Et là je ne sais plus, je n'y vois plus rien.
Est-ce que c'est bon jusque là ?
Je vous remercie

GaBuZoMeu
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par GaBuZoMeu » 30 Sep 2022, 16:45

Bonjour,
Travailler sur un manuel d'algèbre qui date de 1886, ce n'est peut-être pas le plus approprié, mais enfin à toi de voir ...
Le reste que l'on cherche quand on divise par est le polynôme de degré 2 en qui vaut pour , pour , pour .
Il est plus commode de voir cela comme un problème d'interpolation, que l'on peut traiter soit par la méthode d'interpolation de Lagrange (voir Interpolation_lagrangienne sur wikipedia), soit par la méthode d'interpolation de Newton (voir Interpolation_newtonienne sur wikipedia).
Calculons, avec la méthode d'interpolation de Newton qui utilise les différences divisées :



ce qui donne

evanescente~ondine
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par evanescente~ondine » 30 Sep 2022, 18:28

> Travailler sur un manuel d'algèbre qui date de 1886, ce n'est peut-être pas le plus approprié, mais enfin à toi de voir ...
Je pense que si au contraire, ils savaient entraîner à l'époque, les muscles algébriques, aujourd'hui nous dépendons autant de "méthodes" pondus par d'autres que d'ordinateurs, en comprenant rarement les algorithmes que les unes ou les autres appliquent en fait.
Donc d'après toi il n'y a pas moyen d'exprimer le reste de de f(x)/[(x-a)(x-b)(x-c)] de manière tout à fait symmétrique ? Je ne pense pas, tous les exercices pointent vers cela, et a b et c ont les mêmes rôles, donc ça doit exister.

GaBuZoMeu
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par GaBuZoMeu » 30 Sep 2022, 19:25

"nous dépendons autant de "méthodes" pondus par d'autres que d'ordinateurs, en comprenant rarement les algorithmes que les unes ou les autres appliquent en fait."
Ça, c'est une opinion sans grand fondement. L'algèbre a vu des progrès et des clarifications depuis 1886 !
Si tu veux de la symétrie en , tu peux utiliser la méthode d'interpolation de Lagrange. Je te laisse le plaisir de la découvrir si tu ne la connais pas. Je t'ai donné une référence.
Mais de toutes façons, le résultat est bien unique, et symétrique en . Tu peux développer le résultat que j'ai donné pour t'en apercevoir.

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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par evanescente~ondine » 30 Sep 2022, 21:32

oui, c'est ce que je fais, merci beaucoup !
J'ai compris, ça devient symétrique une fois seulement qu'on développe. Du moins, il n'y avait aucune assurance de tomber dessus tout de suite.
je ne voulais pas paraître hautain, c'est juste que pour moi les maths me servent à muscler mon cerveau, mes muscles algébriques la pure manipulation de symboles. je n'ai pas dit que l'algèbre n'avait pas évolué bien sûr, juste que ces outils ne me servent pas, il me faut maitriser et "voir" jusqu'à la fin ce qui se passe.

GaBuZoMeu
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par GaBuZoMeu » 30 Sep 2022, 22:26

"Du moins, il n'y avait aucune assurance de tomber dessus tout de suite."
Eh bien si justement. Personnellement, je n'ai pas développé pour savoir que c'est symétrique en a, b, c. Grâce aux outils justement qui permettent de maîtriser et de voir ce qui se passe.
Mais bien sûr, nulle obligation pour toi de t'y intéresser.

evanescente~ondine
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par evanescente~ondine » 30 Sep 2022, 23:01

Si si je vais m'y intéresser, mais c'est trop tôt, chaque chose à sa place: je n'ai jamais fait d'intégrale alors m'attaquer à Lagrange me paraîtrait désordonné. Bien sûr je savais que ça devait finir par être symétrique mais je ne savais pas comment le dérouler, et j'ai des blocages mentales, ça parait bête à trente ans et avec deux licences de dire ça, mais quand il y a un poil trop de lettres dans la même identité, ça me donne la migraine de développer, ma tête bloque. Pourtant c'est là où j'essaie de m'améliorer.
Je poserai d'autres questions quand (plutôt que "si" !) pour d'autres problèmes ;-)

GaBuZoMeu
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Re: Chrystal (Higher Algebra), p109, exercice 47.

par GaBuZoMeu » 01 Oct 2022, 07:41

Hum hum ... aucune raison, d'étudier l'intégrale avant l'interpolation de Lagrange, cette dernière n'utilise absolument pas l'intégration.

 

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