Bonjour à tous,
je lisais une preuve de l'existence de la factorisation de Cholesky pour une matrice hermitienne définie positive, à savoir pour une matrice hermitienne définie positive
il existe une unique matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs
telle que
.
Dans cette preuve on utilise le fait que
admet une décomposition
(car tous ses mineurs sont positifs), où
est triangulaire inférieure et
est triangulaire supérieure.
La décomposition n'est pas unique si on impose pas que
soit unitaire je crois.
Après on fait intervenir une matrice
diagonale telle que
)
de manière à pouvoir écrire
(D^{-1}U))
. En fait, c'est là que j'ai un souci car pourquoi tous les coefficients diagonaux de
seraient-ils positifs pour pouvoir prendre leurs racines ?
Est-ce bien parce que si jamais un des
est tel que
alors on peut quand même trouver une décomposition
pour
avec
à coeffs diagonaux positifs.
Par exemple si
on a
Et en notant
et
reste bien triangulaire inf,
triangulaire sup et on a bien
à coeffs diagonaux positifs avec
J'ai bon ?
