Suite récurrente

[kadaid]

Bonjour,
On donne la suite (Un):
U(n+1)=(Un +2)/3 et Uo=2
1) Déterminer les quatre premiers termes.
2) Démontrer que (Un) est décroissantes.

1) Uo=2
U1=4/3
U2=5/3
U3=11/9

2) U(n+1)-Un=2/3*(1-Un) là je suis bloqué
U(n+1)/Un=(Un +2)/(3*Un) là aussi je suis bloqué.

Merci d'avance.

[phyelec]

Bonjour,

U1 OK
U2 je pense qu'il y a une erreur de calcul
U3 OK

Pour la décroissance, étudiez la fonction f(x)= (x+2)/3

[kadaid]

Oui, U2=10/9
f(x)= (x+2)/3=1/3*x+2/3
f est affine, coefficient directeur positif donc f croissante.
J'ai l'impression que c'est le contraire de ce que je dois démontrer.
A moins que j'oublie des choses.

[vam]

Bonjour
est faux également

ensuite, attention, ce n'est pas parce que f sera croissante ou décroissante que la suite sera croissante ou décroissante
ce raisonnement est faux (ce raisonnement est à utiliser si tu as une suite du type ce qui n'est pas le cas ici )

tu peux évaluer et tu verras que le simple fait de savoir comparer à 1te permettra de répondre

il suffit de montrer par une petite récurrence que tous les termes de ta suite sont supérieurs à 1.

[vam]

une autre solution encore plus simple
tu fais une petite récurrence pour montrer directement que la suite est décroissante (en utilisant le fait que f elle est une fonction croissante)
l'hérédité est très facile
soit alors ...les images par f ....

[kadaid]

f croissante.
Uo=2
f(2)=4/3
f(4/3)=10/9
f(10/9)=28/27

Il semble que (Un) est décroissante.
Supposons que (Un) est décroissant au rang n, U(n+1)<=Un
f(U(n+1))<=f(Un) car f croissante
Donc U(n+2)<=U(n+1)
donc (Un) est décroissante.
(je n'ai pas tout rédigé).

Si c'est bon, je passerai au reste: (Un) est minorée comme tu l'as remarqué.

[vam]

oui, tu n'oublieras pas d'initialiser ta récurrence
mais c'est bien ça
Bonne suite d'exo !

[kadaid]

Voici la suite du sujet
Démontrer que (Un) est convergente et déterminer sa limite.

P(n): Un >=1
Uo=2 donc vrai.
Supposons que P(n) vraie au rang n

f(Un) >= f(1) car f croissante.
U(n+1)>=1, l'hérédité est démontrée.

(Un) décroissante et minorée par 1 donc (Un) est convergente.
Soit L sa limite
L=(L+2)/3
L=1

[vam]

oui, car f est une fonction continue
OK.