[L2 Maths] Bases duales

[Alexoce]

Bonjour!

J'ai un exercice à faire sur les bases duales mais comme je ne comprends pas trop cette notion j'ai quelques questions.

Voilà l'exercice: https://www.noelshack.com/2022-39-2-166 ... 103712.png

Pour la question 1 rien de compliqué j'échelonne la matrice B' au rang maximal et je vois qu'il n'y a pas de vecteur nul.
Pour les questions 2 et 3 j'ai cherché sur internet et il semble exister une technique qui consiste à prendre l'inverse de la matrice puis lire les vecteurs de la base duale sur les lignes

Pour la base canonique on aurait par exemple comme base duale {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} (l'inverse de la base canonique étant égale à la base canonique)
Et pour B' on aurait {(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)}

Ma question est d'abord: est-ce un raisonnement rigoureux? est-ce la seule façon de faire ? Sachant que je voudrais quand même comprendre ce que je présente à la prof (ce qui est le cas avec cette façon simple)

Et pour la question 4 je ne sais pas trop quoi répondre, je ne fais pas d'observation particulière (mise à part que les deux bases duales puissent s'écrire sous forme de matrices échelonnées mais ça me paraît pas spécialement pertinent)

Merci d'avance!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Pour comprendre la méthode de la transposée de l'inverse, il faut revenir à la définition de bas duale. Si est une base de , la famille de formes linéaires est la base duale si et seulement si, pour , on a (1 si et 0 si ). Dans ce cas, si tu mets les coeffcients des en ligne dans une matrice et les coordonnées des en colonne dans un matrice , que vaut le produit ? Conclusion ?

Tu peux remarquer que les bases et ont leurs deux premiers vecteurs en commun. Est-ce le cas pour les bases duales ?

[Alexoce]

En effet les deux premiers vecteurs des deux bases duales ne sont pas identiques, on remarque par contre que c'est le cas pour leur troisième vecteur (mais peut-être que c'est du hasard?)

Dans tous les cas je n'arrive pas trop à imaginer l'interprétation qu'on peut en faire...
Mon cours sur les dualités est assez vide, tout tient sur un seul slide où le prof évoque le symbole de Kronecker et les bases antéduales (en gros "l'inverse" de la base duale si j'ai bien compris).
La déduction est peut-être toute bête mais ça m'échappe

[GaBuZoMeu]

Je repose la question : que vaut le produit ?

[Alexoce]

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "coefficients des li".

Je suis totalement paumé cette année sur tout ce qui tourne autour des espaces vectoriels et quand vous me parlez de multiplier les vecteurs de la base duale par la base je suis perdu Même si je savais comment faire, le résultat serait un charabia ininterprétable avec ma compréhension de cette matière

[GaBuZoMeu]

Sais-tu ce qu'est une forme linéaire ?

[Alexoce]

Je serais tenté de dire que forme linéaire = application linéaire mais il y a sûrement une nuance qui m'échappe

[GaBuZoMeu]

Une forme linéaire est une application linéaire dans le corps de base. C'est le concept essentiel pour la dualité. Une forme linéaire sur est une application . Les réels sont les coeffcients de la forme linéaire.
Quelle définition as-tu de "base duale " ?

[Alexoce]

C'est cette expression "dans le corps de base" que je ne comprends pas trop Parfois sur un exercice ça parle de "Corps K" ou quelque chose dans le genre mais je ne comprends pas donc j'ignore.

Une base duale de E est une base de E* qui est l'ensemble des formes linéaires de E (vu que je comprends pas trop ce qu'est une forme linéaire j'ai du mal à saisir du coup)

Elle est loin l'époque du bac où je comprenais tout en maths

[GaBuZoMeu]

Le corps de base, pour un espace vectoriel sur le corps , c'est .
Je te conseille de prendre un manuel d'algèbre linéaire 'celui de Grifone par exemple) et de le travailler.