Algèbre de boole

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sunkissed
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Algèbre de boole

par sunkissed » 24 Sep 2022, 20:50

Bonsoir,
S'il vous plais je ne parvient pas à démontrer cette égalité:
ad+b (bar). (d(bar) +c (bar)) =a.d+a.c+a(bar).c(bar) +b(bar). c. d(bar)
Sachant que a.d(bar)+b.c(bar)=0
En faisant le calcule je me suis bloqué dans cette étape:
ad+b (bar). (d(bar) +c (bar))=a.d+b(bar).c.d(bar)
J'ai essayé pas mal de fois de faire apparaître les termes restants en utilisant les formules:
x+x(bar) =1 et x.x(bar)=0 mais aucun résultat.
Pouvez-vous me guider un peu s'il vous plaît ?
Et merci beaucoup !!



Black Jack

Re: Algèbre de boole

par Black Jack » 24 Sep 2022, 21:12

Bonjour,

Si par exemple, je choisis a = b = c = 1 et d = 0

on a : ad+b (bar). (d(bar) +c (bar)) = 1*0 + 0 * (1 + 0) = 0 + 0 = 0

et on a : a.d+a.c+a(bar).c(bar) +b(bar). c. d(bar) = 1*0 + 1*1 + ... = 1

Et donc la relation ad+b (bar). (d(bar) +c (bar)) =a.d+a.c+a(bar).c(bar) +b(bar). c. d(bar) n'est pas vérifiée (au moins dans le cas présenté ci-dessus)

Donc, la relation est fausse et on ne pourra évidemment pas démontrer qu'elle est vraie.
*****

Comment s'en apercevoir ?

Une manière facile (si cela ne te saute pas aux yeux) :

Il suffit de remplir un tableau de Karnaugh avec le membre de gauche.
Et de remplir un tableau de Karnaugh avec le membre de droite.
On compare visuellement les 2 tableaux ... et on constate qu'ils sont différents (donc la proposition est fausse)

8-)

sunkissed
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Re: Algèbre de boole

par sunkissed » 25 Sep 2022, 00:17

bonjour,
merci beaucoup pour votre réponse,oui c'est tout à fait logique mais pensez vous qu'avec la condition donnée(a.d(bar)+b.c(bar)=0) ça peut etre different et on peut montrer l'égalité?

Black Jack

Re: Algèbre de boole

par Black Jack » 25 Sep 2022, 11:37

Bonjour,

En utilisant Karnaugh :

On fait les tableaux de Karnaugh pour les 2 membres de la relation, sans tenir compte de la condition. (Ce sont les 2 dessins du haut)

On fait le tableau de Karnaugh de la condition (Je l'ai inversée et identifié à 1).
C'est le tableau du bas ... qui donne les cases à prendre en considération pour les 2 premiers tableaux (que j'ai coloriées en bleu sur mon dessin)

On compare alors les 2 tableaux du haut uniquement pour les cases en bleu... ils sont identiques.

Et donc la relation "ad+b (bar). (d(bar) +c (bar)) =a.d+a.c+a(bar).c(bar) +b(bar). c. d(bar)" soumise à la condition "(a.d(bar)+b.c(bar)=0)" est bien vérifiée.

Image

Il existe bien entendu d'autres techniques ...
Tant que le nombre de variables logiques n'est pas trop grand, Karnaugh est facile et très visuel ...
Mais à chacun ses goûts.

Attention, je n'ai rien vérifié.

8-)

sunkissed
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Re: Algèbre de boole

par sunkissed » 25 Sep 2022, 13:20

merci beaucoup vraiment!!c'est très gentil!!oui c'est evident avec le tableau de karnaugh c'est plus facile mais c'est exigé dans l'exercice de demontrer l'equation algebriquement c'est pourquoi j'ai partagé avec vous ma methode de résonnement espérant que vous me guider un peu là ou je me suis bloquée pour aboutir à la solution finale.

Black Jack

Re: Algèbre de boole

par Black Jack » 25 Sep 2022, 15:14

Rebonjour,

Membre de gauche :

AD + B/.D/ + B/.C/
on peut ajouter (AD/ + B.C/) puisque cela vaut 0 -->

= AD + B/.D/ + B/.C/ + AD/ + B.C/
= AD + AD/ + B/.D/ + B/.C/ + B.C/
= A(D + D/) + B/.D/ + C/.(B/+B)
= A + B/.D/ + C/
= A + C/ + B/.D/
= A + C/ + B/.D/ . (C + C/)
= A + C/ + B/.D/.C + B/.D/.C/
= A + C/.(1 + B/.D/) + B/.D/.C
= A + C/ + B/.D/.C (membre de gauche, compte tenu de la contrainte) (1)
*************
Membre de droite :

AD + AC + A/.C/ + B/.C./D
on peut ajouter (A.D/ + B.C/) puisque cela vaut 0 -->
= AD + AC + A/.C/ + B/.C./D + A.D/ + B.C/
= AD + AD/ + AC + A/.C/ + B/.C./D + B.C/
= A(D + D/ + C) + A/.C/ + B/.C./D + B.C/
= A + A/.C/ + B/.C./D + B.C/ (2)

Or A + A/.C/ = A + A(C + C/) + A/.C/
= A.(1 + C) + C/.(A/ + A)
= A + C/
Cela remis dans (2) --->

AD + AC + A/.C/ + B/.C./D = A + C/ + B/.C./D + B.C/
= A + C/ + B/.C./D + B.C/
= A + C/.(1 + B) + B/.C./D
= A + C/ + B/.C./D (membre de droite, compte tenu de la contrainte) (3)
*****
Et en comparant (1) et (3)

on déduit que "membre de gauche, compte tenu de la contrainte = membre de droite, compte tenu de la contrainte"

Donc c'est OK

Rien vérifié. 8-)

tournesol
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Re: Algèbre de boole

par tournesol » 27 Sep 2022, 14:24

si ad/+bc/=0 alors ad+b/(d/+c/)=ad+ac+a/c/+b/cd/ est à démontrer.
Solution :
si a=0 la question devient
si bc/=0 alors b/d/+b/c/=c/+b/cd/
on ajoute bc/ au membre de gauche et on obtient b/d/+c/(b+b/)=b/d/+c/(1)=b/d/+c/
on traite le membre de droite avec la règle A+BA/=A+B et on obtient le membre de gauche.
Pour a=1 la question devient
si d/+bc/=0 alors d+b/d/+b/c/=d+c+b/cd/
on ajoute d/+bc/ aux deux membres et on obtient d+d/ dans les deux membres.
Or d+d/=1 et 1 est absorbant.Donc chaque membre vaut 1.
CQFD
Remarque: la réciproque est fausse.
On peut en effet démontrer(Black Jack karnaugh) que l'égalité à lieu 12 fois sur 16 alors que la condition n'est vérifiée que 9 fois .

 

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