Démonstration par récurrence d'une double inégalité

[triumph59]

Bonsoir,

Je dois démontrer :



Je suis parti sur une démonstration par récurrence.
Pour n = 1, on a , k est donc égal à 1

est vrai

Pour l'hérédité

et

En sommant les 2 inégalités, j'obtiens



soit :



L'hérédité est vraie à gauche, mais je n'arrive pas à la vérifier à droite

J'ai essayé de majorer le terme de droite par mais sans succès

[tournesol]

Il est plus efficace d'utiliser les variations de sur [1;n]

[lyceen95]

Ca fait 2 exercices où tu essaies une démonstration par récurrence, alors que l'approche directe est plus efficace.
Sur l'exercice précédent, l'approche par récurrence était assez logique, on avait une somme de 1 à n, et donc, le passage de n à n+1 donne un calcul facile.
Ici, le n'est pas très encourageant pour faire une démo par récurrence.

Savoir identifier les cas où une démo par récurrence sera efficace, ce n'est pas évident.

[triumph59]

@Tournesol

Sans avoir vu ta réponse j'étais parti sur l'étude des variations de la fonction.
Fonction croissante puis décroissante avec un maximum qui prend la valeur ce qui est bien l'attendu

@lyceen95

Le chapitre étudié est "récurrence", j'essaie de m'y tenir, mais parfois un autre angle d'attaque est tout aussi efficace !

Merci