Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produit
Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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jolanbcx
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par jolanbcx » 18 Aoû 2022, 19:49
Bonjour à tous, on m'a confronté à un problème aujourd'hui que j'ai du mal à résoudre:
Il s'agit de trouver 2 complexes tels que leur somme est égale à 6 et leur produit est égal à 10.
J'ai tout de suite cherché à faire un système du style:
z + z' = 6
zz' = 10
Mais je n'arrive pas à aller très loin ni à trouver le résultat. Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller?
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Mateo_13
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par Mateo_13 » 18 Aoû 2022, 20:30
Salut Jolanbcx
Soit S la somme et P le produit des deux complexes,
alors ils sont solution de l'équation
Cordialement,
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jolanbcx
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par jolanbcx » 18 Aoû 2022, 20:33
Effectivement, on trouve rapidement z=3-i et z'=3+i. Merci beaucoup!
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Fredocube
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par Fredocube » 19 Aoû 2022, 01:16
Bonjour,
j'aurais plutôt proposé les choses comme ça :
On cherche 2 nombres z et z' qui vérifient :
z + z' = 6
zz' = 10
Ils peuvent en particulier être solution d'une équation du second degré
Or toute équation du second degré avec deux solutions peut s'écrire :
(x-z)(x-z')=0
Si je développe ça donne :
x²-(z+z')x+zz'=0
Conclure ...
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Mateo_13
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par Mateo_13 » 19 Aoû 2022, 09:31
Bonjour Fredocube,
je suis d'accord avec toi, l'exercice sans indication est difficile.
En 1ère, les élèves devraient savoir que le produit des racines d'un trinôme est
et leur somme est
.
Amicalement,
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annick
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par annick » 19 Aoû 2022, 22:58
Bonjour,
on peut aussi résoudre bêtement le système :
z + z' = 6
zz' = 10
z=6-z'
(6-z')z'=10
z'²-6z'+10=0
Résoudre cette équation du second degré dans le corps des complexes (ce qui autorise un delta négatif puisque i²=-1).
On retrouve bien les résultats précédents.
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