Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produit

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
jolanbcx
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Enregistré le: 18 Aoû 2022, 19:45

Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produit

par jolanbcx » 18 Aoû 2022, 19:49

Bonjour à tous, on m'a confronté à un problème aujourd'hui que j'ai du mal à résoudre:
Il s'agit de trouver 2 complexes tels que leur somme est égale à 6 et leur produit est égal à 10.

J'ai tout de suite cherché à faire un système du style:
z + z' = 6
zz' = 10

Mais je n'arrive pas à aller très loin ni à trouver le résultat. Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller?



Mateo_13
Membre Relatif
Messages: 360
Enregistré le: 30 Oct 2013, 06:08

Re: Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produ

par Mateo_13 » 18 Aoû 2022, 20:30

Salut Jolanbcx

Soit S la somme et P le produit des deux complexes,
alors ils sont solution de l'équation

Cordialement,

jolanbcx
Messages: 2
Enregistré le: 18 Aoû 2022, 19:45

Re: Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produ

par jolanbcx » 18 Aoû 2022, 20:33

Effectivement, on trouve rapidement z=3-i et z'=3+i. Merci beaucoup!

Fredocube
Messages: 2
Enregistré le: 19 Aoû 2022, 00:38

Re: Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produ

par Fredocube » 19 Aoû 2022, 01:16

Bonjour,

j'aurais plutôt proposé les choses comme ça :

On cherche 2 nombres z et z' qui vérifient :
z + z' = 6
zz' = 10

Ils peuvent en particulier être solution d'une équation du second degré

Or toute équation du second degré avec deux solutions peut s'écrire :
(x-z)(x-z')=0
Si je développe ça donne :
x²-(z+z')x+zz'=0

Conclure ...

Mateo_13
Membre Relatif
Messages: 360
Enregistré le: 30 Oct 2013, 06:08

Re: Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produ

par Mateo_13 » 19 Aoû 2022, 09:31

Bonjour Fredocube,

je suis d'accord avec toi, l'exercice sans indication est difficile.

En 1ère, les élèves devraient savoir que le produit des racines d'un trinôme est et leur somme est .

Amicalement,

annick
Habitué(e)
Messages: 6282
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Re: Trouver 2 complexes connaissant leur somme et leur produ

par annick » 19 Aoû 2022, 22:58

Bonjour,

on peut aussi résoudre bêtement le système :

z + z' = 6
zz' = 10

z=6-z'
(6-z')z'=10

z'²-6z'+10=0

Résoudre cette équation du second degré dans le corps des complexes (ce qui autorise un delta négatif puisque i²=-1).
On retrouve bien les résultats précédents.

 

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