Les sous-groupes de Z/nZ

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Niki42
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 09 Fév 2020, 22:50

Les sous-groupes de Z/nZ

par Niki42 » 16 Aoû 2022, 21:07

Bonjour à tous les algébristes :)

Je sèche un peu quant à la fameuse question de la détermination des sous-groupes de Z/nZ.

(J'ai conscience que ce problème est traité sur de nombreuses pages de ce forum mais aucune d'elle ne me fournit les explications qu'il me manque)

Ma recherche est donc la suivante:
1) On établi un morphisme de groupe entre Z et Z/nZ grâce à la surjection canonique S.
2) Si on considère un sous-groupe H de Z/nZ, on sait que son image réciproque par S est un sous-groupe de Z, donc de la forme kZ.
3) donc, on peut écrire que S-1(H) = kZ, soit en composant par S qui est surjective, que H=S(kZ), ce qui nous amènerait à conclure que les sous-groupes de Z/nZ sont de la forme cl(k) Z/nZ.

Ainsi, si on travaille dans Z/8Z, les sous-groupes seraient {0}, Z/8Z, 2Z/8Z ( isomorphe à Z/4Z), 3Z/8Z, 4Z/8Z (~Z/2Z), 5Z/8Z, 6Z/8Z(~3Z/4Z) , 7Z/8Z et 8Z/8Z (~ isomorphe à Z? )

Mais d'autres démonstrations affirment que cl(k) soit être un diviseur de n, en fait seuls 2Z/8Z et 4Z/8Z seraient des sous-groupes non triviaux de Z/8Z. Pourquoi ma démonstration ne me donne pas cette information ?

et deuxièmement, pourquoi 7Z/8Z ne pourrait pas être un sous-groupe de Z/8Z ?

Merci beaucoup



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Les sous-groupes de Z/nZ

par Ben314 » 16 Aoû 2022, 23:28

Salut,
La réponse à ta question est on ne peut plus simple : pour que la définition du groupe quotient G/H ait du sens, ben il faut évidement que H soit un sous groupe de G. Par exemple 7Z/8Z n'a pas de sens vu que 8Z n'est pas un sous groupe de 7Z (les multiples de 8 ne sont pas tous des multiples de 7). Alors que 8Z est bien un sous groupe de 2Z et aussi un sous groupe de 4Z (les multiples de 8 sont tous des multiples de 2 et des multiples de 4).
Bref, le problème ce n'est pas que "7Z/8Z n'est pas un sous groupe de Z/8Z" mais plus bêtement que "7Z/8Z ne veut rien dire" (en tout cas pas avec la définition usuelle de groupe quotient).
Et ce qu'il manque dans ta preuve, c'est le fait que non seulement est un sous groupe de Z donc de la forme kZ, mais, de plus, il contient évidement ce qui prouve que k est un diviseur de n.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Les sous-groupes de Z/nZ

par Archytas » 16 Aoû 2022, 23:58

Niki42 a écrit: ce qui nous amènerait à conclure que les sous-groupes de Z/nZ sont de la forme cl(k) Z/nZ.

Je me permets de compléter la réponse de Ben et apporter une précision. La notation est un peu ambigue. Si cette notation signifie alors je rejoins ce qu'a écrit Ben mais on peut aussi l'interpréter comme étant le sous-groupe de engendré par la classe de (ça aurait alors plus de sens de le noter ). Ce dernier est bien entendu un groupe mais c'est en fait le groupe (car on peut écrire d'une unique manière et est premier à donc sa classe est inversible pour la loi dans l'anneau ). Donc, lorsque est premier avec par exemple, c'est tout entier. Dans tous les cas les deux approches donnent le même résultat ce qui est plutôt rassurant.

Niki42
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 09 Fév 2020, 22:50

Re: Les sous-groupes de Z/nZ

par Niki42 » 17 Aoû 2022, 04:33

Merci beaucoup à tous les deux, c'est extrêmement clair!
Effectivement je n'avais pas en tête la propriété que H devait être un sous groupe dans la notation G/H (effectivement, 7z/8z ne veut rien dire dans ce cas ^^) et intéressant de "questionner" les antécédents du neutre pour avoir la contrainte sur k et n.
Merci aussi pour cette deuxième approche ;) !

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 33 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite