Bonjour à tous les algébristes
Je sèche un peu quant à la fameuse question de la détermination des sous-groupes de Z/nZ.
(J'ai conscience que ce problème est traité sur de nombreuses pages de ce forum mais aucune d'elle ne me fournit les explications qu'il me manque)
Ma recherche est donc la suivante:
1) On établi un morphisme de groupe entre Z et Z/nZ grâce à la surjection canonique S.
2) Si on considère un sous-groupe H de Z/nZ, on sait que son image réciproque par S est un sous-groupe de Z, donc de la forme kZ.
3) donc, on peut écrire que S-1(H) = kZ, soit en composant par S qui est surjective, que H=S(kZ), ce qui nous amènerait à conclure que les sous-groupes de Z/nZ sont de la forme cl(k) Z/nZ.
Ainsi, si on travaille dans Z/8Z, les sous-groupes seraient {0}, Z/8Z, 2Z/8Z ( isomorphe à Z/4Z), 3Z/8Z, 4Z/8Z (~Z/2Z), 5Z/8Z, 6Z/8Z(~3Z/4Z) , 7Z/8Z et 8Z/8Z (~ isomorphe à Z? )
Mais d'autres démonstrations affirment que cl(k) soit être un diviseur de n, en fait seuls 2Z/8Z et 4Z/8Z seraient des sous-groupes non triviaux de Z/8Z. Pourquoi ma démonstration ne me donne pas cette information ?
et deuxièmement, pourquoi 7Z/8Z ne pourrait pas être un sous-groupe de Z/8Z ?
Merci beaucoup