Berceau de Newton (conversation de l'élan)

[tobankhot]

Imaginez 5 balles fixes, B, C, D, E et F placées ensemble, dans l'ordre de BCDEF, sur une surface horizontale. Les boules B, C, D et E ont une masse de 4 m chacune et la boule F a une masse de 1 m. Lorsque la boule A, de masse m, se dirige vers la boule B le long d'une ligne droite avec une vitesse de 10 ms^-1 et heurte élastiquement la boule B, pourquoi seules les boules A, E et F se déplacent après la collision ?

[Black Jack]

Bonjour,

Pour faciliter la réflexion imaginons que toutes les balles sont un peu écartées les unes des autres au départ ...

Soit v1 la vitesse de la boule A juste avant l'impact avec la boule B, v'1 la vitesse de la boule B juste après l'mpact avec la boule A et v2 la vitesse de la boule B juste après l'impact.
On a les relations :
m.v1 = m.v'1 + 4m.v2 (conservation de la quantité de mouvement)
m.v1²/2 = m.v'1²/2 + 4m.v2²/2 (conservation de l'énergie cinétique)
et on connait v1 = 10 (m/s)
La résolution du système ci-dessus donne : v2 = 4 m/s et v'1 = - 6m/s (La bille A repart dans le sens inverse)
C'est fini pour la bille A.

Mais pas fini pour la bille B : qui va cogner la bille C avec une vitesse initiale v2 = 4 m/s, v'2 est la vitesse de la boule B juste après l'mpact avec la boule C et v3 la vitesse de la boule C juste après l'impact.
On a les relations :
On a alors les relations :
4m.v2 = 4m.v'2 + 4m.v3
4m.v2²/2 = 4m.v'2²/2 + 4m.v3²/2
avec v2 = 4 m/s
La résolution du système ci-dessus donne : v'2 = 0 m/s et v3 = 0 m/s (La bille A repart dans le sens inverse)
C'est fini pour la balle B, après le double impact (par la bille A et puis dans la bille C), sa vitesse finale est v'2 = 0 m/s

Le raisonnement ci-dessus est valable quel que soit l'écart initial entre les billes ... et donc aussi si cet écart est nul (billes touchantes au départ)

On fait un même raisonnement pour la balle C de masse 4m qui est cognée par la B avec la vitesse de 4 m/s et qui va cogner la balle D (de masse 4m également)
... et on trouve encore que la vitesse de la bille C après le double impact (celui de la bille B et celui dans la balle D) est de 0 m/s
C'est fini pour la balle C, après le double impact (par la bille B et puis dans la bille D), sa vitesse est v'3 = 0 m/s

On fait un même raisonnement pour la balle D de masse 4m qui est cognée par la C avec la vitesse de 4 m/s et qui va cogner la balle E (de masse 4m également)
... et on trouve encore que la vitesse de la bille D après le double impact (celui de la bille B et celui dans la balle D) est de 0 m/s
C'est fini pour la balle D, après le double impact (par la bille C et puis dans la bille E), sa vitesse est v'3 = 0 m/s

On a donc la balle D (4m) qui a cogné la balle E(masse 4m) avec une vitesse de 4 m/s qui donne :
4m.vD = 4m.v'D + 4m.vE (VD étant la vitesse de la balle D juste avant l'impact acec la balle E)
4m.vD²/2 = 4m.v'D²/2 + 4m.vE²/2
avec vD = 4 m/s
Et on trouve V'D = 0 et VE = 4 m/s

Et enfin, on a la balle E (masse 4m) qui cogne à la vitesse de 4 m/s la balle F de masse m.

4m*4 = 4m.v'E + m.vF
4m*4²/2 = 4m.v'E²/2 + m.vF²/2

qui donne un vitesse (juste après impact) de 2,4 m/s pour la balle E et de 6,4 m/s pour la balle F

Donc, après impact (que les balles soient ou non en contact au départ), les balles C et D sont à vitesse nulle et les balles A, E et F sont en mouvement.
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On vérifie si on a bien conservation de mouvement de l'ensemble.

10 * m =? m * (-6) + 4m * 2,4 + 6,4 * m
10 m =? m * (-6 + 9,6 + 6,4)
10m = 10m --> OK

On vérifie si on a bien conservation de l'énergie cinétique de l'ensemble.

1/2 * m * 10² =? 1/2 * m * (-6)² + 1/2 * 4m * 2,4² + (1/2) * m * 6,4²
1/2 * m * 10² =? 1/2 * m * (36 + 23,04 + 40,96)
50 * m =? 50 * m --> OK
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Rien relu.