Problem d'algebre

par **bertr** » 27 Déc 2006, 21:37

g un probleme algebre :

valeur propres de A matrice tridiagonale avec des 2 sur la diagonale et des -1 ailleurs (sur les diagonales sous-jacentes ) ?

sols : 2(1-cos(j*Pi/(n+1))) ,j=1...n

mais comment le prouver ?

---> modif c n+1 et pas n dans les soluces !!

par **kidibou** » 27 Déc 2006, 21:44

Quuuuuuoi?

par **kidibou** » 27 Déc 2006, 21:47

Fait des manipulations sur les colonnes pour faire apparaitres des 0.
avec des -1 presque partout, ca devrait pas etre trop dur.

par **Zebulon** » 27 Déc 2006, 21:49

Bonsoir,
c'est sûr ? Pour n=2 (je suppose que n est la dimension de A), je trouve les solutions 1 et 3, qui ne sont pas

et

.

par **bertr** » 27 Déc 2006, 22:19

j'ai fait une modif ds l'enoncé dslé je m'etai trompé c 2(1-cos(j*Pi/(n+1)) )

et n est bien la dimension de A

par **Gary O** » 27 Déc 2006, 22:30

C'est un "classique" assez difficile. Je connais l'énoncé sous une forme un peu différente, mais finalement ça se ramène à la même chose, c'est-à-dire trouver les racines du déterminant de la matrice avec des 1 sur les sur et sous-diagonales, et des 2X sur la diagonale. Il faut trouver une relation de récurrence d'ordre 2 sur ce déterminant, et voir que cette récurrence est en fait la même que celle vérifiée par les polynômes de Tchebychev (1ère espèce je crois) et voilà on se ramène aux racines de Tchebychev. Pour information il avait été donné à l'oral de l'X sous la forme détournée suivante:
résoudre le système d'équa diffs suivant:
y1'=2*y1-y2
y2'=-y1+2*y2-y3
y3'=-y2+2*y3-y4
...
yn'=-y(n-1)+2*yn

par **bertr** » 27 Déc 2006, 22:35

okay !!! bé merci bien ; je voyai bien ke yavé une recurrence la dessous

genre Un = (2-j)Un-1-Un-2 ou Un est le det de (A-j*I) et ou j est une valeur propre . Aprés g essayé de resoudre le truc avec différentes methodes mais soit lé calculs etaient tro longs et je m'en sortait pas soit je restai bloqué .

par **fahr451** » 27 Déc 2006, 23:37

cet exercice n'est pas si difficile on trouve valeur propre et vecteurs propres en même temps

AX = lambdaX équivaut au système linéaire
-x(i-1) +(2-lambda)x(i) -x(i+1) = 0 à condition de poser x(0) = 0 = x(n+1)
c'est une suite récurrente linéaire d'ordre deux à coeff constants
on écrit l'équation caractéristique et on constate que seul le cas
delta<0 donne une sol non nulle en X compte tenu de la valeur de delta on en deduit lambda = (y a du cos (alpha) ) et compte tenu de x(0)=0=x(n+1) on en déduit la valeur de alpha et on voit bien que X est colinéaire à un vecteur fixe donc le sev propre est une droite

toute l'astuce est de poser x(0)= = x(n+1) = 0

par **bertr** » 28 Déc 2006, 13:57

"compte tenu de la valeur de delta on en deduit lambda = (y a du cos (alpha) ) et compte tenu de x(0)=0=x(n+1) on en déduit la valeur de alpha "

Ok mais j'arrive pas bien a en déduire lambda (on ne connait pa la valeur de delta) et ensuite grace aux hypotheses alpha . merci de détailler un petit peu si possible .

par **fahr451** » 28 Déc 2006, 14:05

l'équation caractéristique est
r^2 +(lambda-2)r +1 = 0
delta = (lambda-2)^2 -4
si delta >0 2 racines r1 et r2 réelles distincteset x(i) = a(r1)^i +b(r2)^i
avecx(0)= 0=x(n+1) on trouve a = b = 0 et X = 0 pas de vecteur propre donc on rejette
idem si delta = 0 (racine double etc)

on ne garde que delta<0
Ilambda-2l <2 on pose donc lambda = 2(1+cosalpha) on trouve
r1= exp(ialpha) et r2 = exp(-ialpha) et x(0)= 0 donne a=-b
et x(n+1) = 0 donne les valeurs possibles de alpha puis celles de lambda

par **bertr** » 28 Déc 2006, 14:29

ok ca va maintnan g compris :++: merci bcp

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