Polynôme caractéristique

[Capss]

Bonjour à tous, je suis bloqué sur la 1ère question d'un DM.

On considère cette matrice :

p est un entier supérieur ou égal à 1
et on cherche à trouver le polynôme caractéristique det|A- Lambda*Ip|

On nous définit en début d'énoncé ce polynôme

et on doit trouver comme résultat pour le pol. caract. +P ou -P (ici X=lambda) suivant les valeurs de p (pair ou impair).

J'ai essayé un récurrence sur p mais je n'ai pas réussi à aboutir...Pour p=1, 2, 3...c'est ok. Mais pour l'hérédité, il y a toujours un terme en trop. Par exemple si je suppose vrai au rang p-1 et que je tente pour p, à la fin en écrivant le determinant et en développant par rapport à la dernière colonne, je me retrouve avec du lambda^(p-1) en trop. Donc l'hérédité ne marche pas :hein: .

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer please?

Et également, supposons que P soit bien le pol caract de cette matrice, comment trouver les valeurs propres? Je ne vois pas comment résoudre P=0 :marteau:

Merci d'avance! :happy2:

[Gary O]

Salut,
je n'ai pas l'impression qu'on ait besoin d'une récurrence ici, il suffit de développer suivant la dernière ligne. Cette matrice s'appelle une "matrice compagnon", elle est très liée à un système dynamique discret (récurrence linéaire d'ordre p ici).

[fahr451]

compagnon ou froebenius oui suffit de développer
à noter qu 'en regardant une sous matrice bien choisie on voit que le rang de A-lambad Ip est tjrs au moins p-1 la matrice est diagonalisable ssi il ya p valeurs propres distinctes ssi le polynôme caractéristique a p racines distinctes (dans le corps choisi)

[Capss]

ok merci de vos réponses, je vais regarder ça :we: .