Intégrité : racines d'un polynômes

[elvis77]

Bonjour,

J'ai une question concernant la résultat suivant : Un polynôme de degré n admet au plus n racines. Le résultat est vrai dans un anneau intègre. Mais dans la démonstration que je propose, je ne vois pas où l'on utilise l'intégrité. Classiquement, on procède par récurrence.
Initialisation : Soit P un polynôme de degré 0, c'est une constante donc il n'admet pas de racines. OK
Hérédité : Supposons le résultat pour tout polynôme de degré n.
Soit P un polynôme de degré n+1. Par disjonction de cas, soit il n'a pas de racines, auquel cas, le résultat est démontré ou bien il a une racine notée a donc je peux écrire : [/tex]P(X)=(X-a)Q(X)[/tex]
Là je n'ai toujours pas utilisé l'intégrité de l'anneau ? Enfin je ne crois pas.
Ensuite j'applique mon hypothèse de récurrence à Q : Q étant de degré n, Q admet au plus n racines. Donc P admet au plus n+1 racines. Mais je ne vois toujours pas l'utilité de l'intégrité.
Classiquement j'ai vu que pour la démonstration : on prend une autre racine de P notée b et on utilise l'intégrité pour montrer que c'est une racine de Q et après ? En quoi ma démonstration est fausse ?
Merci pour votre éclairement.
Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Classiquement j'ai vu que pour la démonstration : on prend une autre racine de P notée b et on utilise l'intégrité pour montrer que c'est une racine de Q et après ?

Justement après, si b est une racine de P différente de a et si tu n'es pas dans un anneau intègre, tu ne peux pas en déduite que b est racine de Q ; ton raisonnement se casse la figure puisque tu supposes que si b est une racine de P différente de a alors b est racine de Q.

[elvis77]

Merci pour votre réponse.
Oui, j'avais bien compris l'utilité de l'intégrité si on suppose que b est une racine de P.

Mais ma question portait plus sur mon raisonnement : J'écris P(X)=Q(X)(X-a) et j'utilise mon hypothèse de récurrence sur Q qui est de degré n donc admet au plus n racines. Ainsi P admet n+1 racines. Terminé. Mais je n'ai pas utilisé l'intégrité ou bien comme je le pressens, c'est caché qq part.

Cordialement.

[GaBuZoMeu]

J'écris P(X)=Q(X)(X-a) et j'utilise mon hypothèse de récurrence sur Q qui est de degré n donc admet au plus n racines. Ainsi P admet n+1 racines. Terminé.

Ben non, ce n'est pas terminé. Pourquoi dis-tu que P admet n+1 racines ? Parce que tu penses qu'une racine de P est égale à a ou sinon une racine de Q. Ça fait au plus 1+n. Mais pour ça tu utilises l'intégrité ! En effet, si l'anneau n'est pas intègre, P peut très bien avoir une racine qui n'est ni égale à a, ni racine de Q !!

Exemple : tu prends pour anneau Z/4Z et P=X^2 , a=0. Alors Q=X. Mais tu as (la classe de) 2 qui est racine de P et qui n'est ni égal à a, ni racine de Q.

[elvis77]

Merci, c'est exactement ce que je voulais comprendre !
Cordialement.