Familles libres

[madox7]

bonsoir

j'ai une question a propos de l'ennoncé1-'exercice 12 de cette page sur les espaces vectoriels(partie familles libres): https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mpsi/feuillesexo/ev&type=fexo

Dans le corrigé ils font appel à la limite des fonctions facteurs des scalaires λ en +infini pour montrer que justement l'expression en exp est égale à 0. Pourquoi utiliser la limite en +infini? j'ai l'impression que c'est comme dire que c'est l'expression en facteur des λ en elle même qui est égale à 0 alors que c'est une fonction et une fonction n'a pas de valeur "fixe" à moins qu'elle soit constante mais là c'est pas le cas et je comprends pas pourquoi la valeur de la limite en +infini permet de remplacer l'expression de la fonction

merci de votre aide

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas grand chose à ta question . . .

. . . ils font appel à la limite des fonctions facteurs des scalaires λ en +infini pour montrer que justement l'expression en exp est égale à 0.

Ben non, pas du tout : le fait que "l'expression en exp" est nulle, c'est pas une déduction, c'est l'hypothèse dont on est parti ! Et pour montrer que la famille est libre, il faut montrer que cette hypothèse implique que tout les coefficients λi sont nuls.

Pourquoi utiliser la limite en +infini ?

Parce que la fin justifie les moyens et que l'utilisation de la limite en +oo permet de montrer que le coefficient λp est forcément nul.

j'ai l'impression que c'est comme dire que c'est l'expression en facteur des λ en elle même qui est égale à 0 . . .

Là, je comprend pas ce que tu veut dire.

[madox7]

bonjour ben314,
oui excuse moi ct pas du tout clair, en gros d'apres ce que j'ai compris il faut montrer que λi sont tous nuls et pour ça on a utilisé l'égalité λp + λp-1(f1(x)) + ... + λ1(fn(x)) = 0

Avec les fn(x) les fonctions en exp mais bon j'ai pas reecrit... Et si tous les fn(x) s'annulent ou si on arrive à montrer une valeur de x tel que tous les f(x) s'annulent alors l'expression devient juste λp=0 avec toutes les foncion exponentielles qui sont parties et on refait pareil avec la recurrence. Sauf qu'il y a pas de valeur de 'x' pour laquelle exp(ai*)=0 car l'exponentielle ne s'annule jamais peut importe l'exposant donc au lieu de chercher une valeur de x pour exp(ai*x)=0 ils ont tous simplement calculé sa limite quand x tend vers +infini qui est le seul moyen d'annuler la fonction. J'aimerais qu'on m'explique comment c'est possible d'utiliser des limites qui sont justes des valeurs limites quand les x deviennent tres grands mais qui ne sont pas vraiment concretes

je pense qu'il me manque encore des bases et j'ai peut etre pas encore bien compris la notion de familles libres apres tout me parait pas toujours evident donc

[Ben314]

Je te le redit : la fin justifie les moyens.
Là, tu sait que λp + λp-1(f1(x)) + ... + λ1(fn(x)) est nul pour tout x donc évidement, sa limite quand x->oo est nulle. Mais d'un autre coté, vu que les fi(x) tendent tous vers 0 lorsque x->oo, sa la limite λp + λp-1(f1(x)) + ... + λ1(fn(x)) c'est λp. Et comme une limite c'est unique, ben ça prouve que λp est nul.

[madox7]

d'accord merci beaucoup c'est beaucoup plus clair