Compatibilité d'une loi avec une relation d'équivalence

[Aragone]

Bonjour,

Je suis nouveau sur ce forum et ne connait rien au langage Latex, je vais donc essayer de me débrouiller sans…

Soit E un ensemble et R une relation d'équivalence sur E. Soit (E,T) un magma dont la loi T est compatible avec la relation d'équivalence R, c'est-à-dire que, pour tout a,b,a',b' dans E on a

aRa' et bRb' => (aTb)R(a'Tb')

Soit E/R l'ensemble-quotient de E par la relation d'équivalence R, la classe de a étant noté a. On souhaite montrer que la correspondance de (E/R)² dans (E/R) définie par

(a,b) |----> aTb

est une application.

1) Pour tout (a,b) dans (E/R)², aTb dans E/R existe car T est une loi de composition interne, donc aTb est dans E, et donc il existe une classe d'équivalence aTb. Le champ de définition de la correspondance est donc bien (E/R)² tout entier.

2) Je souhaite montrer que pour tout (a,b) dans (E/R)², l'image aTb qui correspond est unique. Et voilà ma question, je ne comprends pas du tout la méthode utilisée dans mon livre pour démontrer cela. La méthode est la suivante :

"si a' et b' sont des représentants quelconques des classes a et b, on a

(aRa' et bRb') => aTb=a'Tb'

L'image de (a,b) ne dépend pas des représentants choisis pour les classes a et b. La correspondance est donc une application de (E/R)² dans (E/R)."
Alfred Doneddu, Nouveau cours de Mathématiques, Tome 1, Editions Vuibert, page 46.

Bien que je comprennes tout à fait le raisonnement fait par Doneddu, je ne comprends pas du tout en quoi cela implique qu'il s'agit bien d'une application. Si je devais faire la démontration, en notant g ma correspondance, j'aurais montré

xgy et xgy' => y=y'.

Doneddu arrive bien à y=y', mais ne part pas du tout de xgy et xgy'. Je cherche donc à comprendre en quoi le fait de prendre deux représentants quelconques des classes a et b revient à la même chose que de poser (a,b)gaTb et (a,b)ga'Tb'.

Merci d'avance.
Aragone

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Comment est définie la correspondance ? Elle fait correspondre à un couple formé de la classe et de la classe les classes de tous les tels que appartienne à et appartienne à . Or ça fait une unique classe d'après la condition de compatibilité.

[hdci]

Si T est une loi de composition interne sur E, on peut dire que T est en fait une application de ExE dans E, et au lieu de noter T(a,b) l'image du couple (a,b), on note aTb.

Ensuite, une application de E dans F est une relation entre E et F, telle que chaque élément de E est en relation avec un unique élément de F.

Donc montrer que T est une loi de composition dans E/R, revient à montrer que T est une application de (E/R)x(E/R) dans (E/R), donc est une relation entre (E/R)x(E/R) et (E/R) telle que chaque couple de (E/R)x(E/R) est en relation avec un unique élément de (E/R)

Plus concrètement, on définit la relation T entre (E/R)x(E/R) et (E/R) par la règle suivante :
(a,b) est en relation avec c si et seulement si il existe un représentant a' de a et un représentant b' de b tel que a'Tb' est un représentant de c.

D'où le fait de montrer que quels que soient les représentants choisis de a et de b, on obtient toujours la même classe c ce qui montre l'unicité de c (donc la relation est une application de (E/R)x(E/R) dans (E/R), donc c'est une loi de composition interne dans E/R).