DEFI (mais c'est aussi mon dm pour la rentré)

[saturn1]

Existe-t-il des fonctions polynômes f et g tels que (fg)'=f'g'


Bon alors moi j'ai fait deux copies doubles d'essai avec des fonctions variés.
J'ai comparé le résultat de f'g' et de f'g+fg' . Mais je n'ai jamais trouvé la même chose.

Alors si vous avez des idées ! (je vais étonné mon prof , je le sens;) )

[Monsieur23]

Existe-t-il des fonctions polynômes f et g tels que (fg)'=f'g'

=> Oui.
Edit : les fonctions constantes sont bien des polynômes ? Les vacances, ça me tue les neurones ...

Mr.23

[saturn1]

Ok , je peux avoir plus de détails dur la réponse stp

[saturn1]

Ah , ouais c'st vrai !
merci , et tu en vois pas d'autres?

[Monsieur23]

Bah, si tu prends f et g deux fonctions constantes ... ben f' et g' sont nulles, et (fg)' est nulle aussi.

Mais bon, c'est un peu capillo-tracté je trouve ... :/

Bon courage quand même :)

[saturn1]

Oui , captillo - tracté , en effet !
Mai j'avais 3 autres exos plus compliqués sur le DM , mais bizarrement je l'ai ai réussi!!

[Monsieur23]

Sinon, je ne sais pas, mais je ne pense pas.

Si tu prends f de degré n, g de degré m.

f' est de degré n-1, g' de degré m-1, donc f'g' de degré (n-1)(m-1)
Et (fg) est de degré n+m, donc (fg)' de degré n+m-1.
Donc les deux fonctions sont de même degré si (n-1)(m-1) = n+m-1 .

Et puis ensuite, je te laisse terminer, parce que c'est l'heure de manger ;)

Bon courage,
Mr.23

[BQss]

Existe-t-il des fonctions polynômes f et g tels que (fg)'=f'g'

Pour prolonger monsieur23
si deg(f)=p et deg(g)=q
deg(fg)=deg(f)+deg(g)=p+q
or si P est un polynome deg P'= deg (P)-1 si deg(P)>=1 et -infini sinon. C'est a dire qu'on pose deg( du polynome nul)=-infini (par convention* ).
Donc deg[(fg)']=p+q-1 si fg est different d'une constante et -infini si non

Mais deg (f'g')=deg(f')+deg(g')=(p-1)+(q-1) si f et g sont different d'une constante et -infini si non.

Dans le cas ou f et g ne sont pas des constantes cela donne:
(p-1)+(q-1)=p+q-2 =0 alors que
deg (f'g')=-infini (polynome nul)
donc pas égalité.

si f et g sont des constantes:
deg[(fg)']=-infini (polynome nul)
deg (f'g')=-infini (polynome nul)
donc égalité.

Enfin si f ou g =0
deg[(fg)']=-infini (polynome nul)
deg (f'g')=-infini (polynome nul)
donc égalité.


Donc les seuls cas ou (fg)'=f'g' sont les cas ou:
1) f et g sont des constantes
2)Soit f soit g vaut 0.

*On pose degré du polynome nul = -infini pour que notamment le deg(fg) si f ou g sont nuls(supposons par exemple g nul) vallent bien deg(f)+deg(g)= p - infini =-infini (c'est a dire le polynome qui vaut 0 qui est le seul polynome de degré -infini) et donc on retrouve bien le fait que le produit d'un polynome par 0 vaut 0...

[Monsieur23]

Oublies mon post précédent, je crois que ça ne mène à rien en fin de compte.

On garde juste f de degré n, et g de degré m, par exemple n >= m
On prend n et m différents de 0.

f'g' de degré n+m-2
(fg)' = f'g + fg'
f'g de degré n-1+m et fg' de degré m-1+n
donc (fg)' de degré n+m-1

On suppose que f'g' = (fg)'
Donc n-1+m = n+m-2.
Donc -1=-2

Donc l'hypothèse f'g' = (fg)' est fausse.
Donc, si f et g ne sont pas constantes, f'g' != (fg)'

Et si elles sont constantes, ben ça marche.

Si la question est posée comme tu l'as posée, tu n'as pas besoin de tout ça.
Pour prouver l'existence d'un objet, il te suffit d'en exhiber un ...
Mais c'est tellement plus classe quand on prouve qu'il est unique ;)

Ne recopie pas ma démo comme ça ... pasque là c'est vraiment moche :D

Bon courage,
Mr.23

Edit : Ca doit toujours pas être juste, mais surement moins faux

[Monsieur23]

( Désolé BQss, je n'avais pas vu que tu avais posté avant moi )

[BQss]

( Désolé BQss, je n'avais pas vu que tu avais posté avant moi )

Oui par contre il faut faire gaf les deux n'ont pas besoin d'etre constantes, il suffit que soit f soit g soient constantes pour que ca marche.

[BQss]

fais gaf le degré de fg c'est le degré de f plus le degré de g et pas le produit des degrés...

(x^5*x^3)=x^8 pas x^15...


Tu peux trouver une regle generale mais il faut bien poser les notions(ta demo n'est pas juste), regarde mon post si tu veux il y a la demo qui utilise les degrés.

[Monsieur23]

Oula ... oui ... ch'suis fatigué moi ... :/