Saiga a écrit:J'ai peut-être une piste.
Mais il faut déjà que je démontre que pour
n'est pas un entier, histoire de pouvoir ensuite travailler sur des inégalités strictes.
A suivre...
Je pense avoir trouvé une preuve de ce résultat mais elle est un peu technique. L'idée est de supposer que
est effectivement un entier, disons
et de montrer qu'alors
est à la fois pair et impair (ce qui contredit l'hypothèse).
1) est impair :On regarde l'équation
modulo
. On remarque facilement que pour
pair
et pour n'importe quel
on a
. Pour
pair on a donc
qui n'a pas de solution (multiplier par
des deux côtés pour s'en convaincre).
Donc
est impair. Disons
pour la suite.
2) est pair :Pour simplifier on pose
.
L'idée est la suivante : on a
par hypothèses et on va montrer que pour les
de cette forme on a nécessairement
d'ordre pair dans
ce qui impliquera que
est pair.
On pose
la décomposition de
en facteurs premiers. On va montrer que
n'est pas un carré modulo l'un des
au moins, ce qui est équivalent au fait que
est l'ordre pair modulo
et ce qui implique qu'il est d'ordre pair modulo
. Il suffira de conclure à l'aide du théorème des restes qui dit en particulier que l'ordre de
dans
est le plus petit multiple commun des ordres modulo
et est donc pair.
Pour ça on pose
le symbole de Legendre de
modulo
qui vaut
si
est un carré modulo
et
sinon. Par la loi de réciprocité quadratique on a
En passant puissance
le produit sur
donne
Or on sait que
qui est un carré car
est impair.
On veut maintenant montrer que
On a,
Puisque
est impair tous les
sont impair, disons
(donc
) ce qui donne
et en regardant ça modulo
on a
Conclusion :
donc au moins un des facteurs vaut
Donc
est d'ordre pair dans
donc dans
. Donc
est pair.
Donc
n'est jamais un entier.
Je sais que la démonstration est longue est technique mais je suis persuadé qu'on peut en trouver une plus courte avec des outils plus simples. Je ne sais pas du tout quel est ton niveau, désolé si c'est des outils que tu ne connais pas. Honnêtement, je ne m'attendais pas à devoir déployer un tel arsenal pour cette question. On voit le symbole de Legendre, la réciprocité quadratique, la structure de groupe de
en M1 généralement. N'hésite pas à me demander des détails des affirmations que j'ai laissé sous le tapis (l'ordre d'un élément d'un produit de groupes est le plus petit multiple commun des ordres dans chaque composante, un élément est d'ordre pair dans les inversibles d'un corps fini si, et seulement si, ce n'est pas un carré, l'ordre de l'image d'un élément par la projection
divise l'ordre de son antécédent etc.)
(ne te force pas à essayer de tout déchiffrer par politesse si tu n'y comprends rien, ça m'a fait super plaisir de réfléchir sur cette question).
PS : Dans le premier cas on montre plus généralement que si
divise
alors
est impair et dans le second cas on montre que si
divise
avec
impair alors
pair. Le résultat final est juste une conséquence de ça pour