Calcule le lieu du centre du segment

[yodabosten]

On considère deux cercles qui ne se touchent qu'au point A (voir illustration). Deux cordes perpendiculaires AB et AC sont tirées par ce point de contact, une dans chaque cercle.
Calcule le lieu du centre du segment [B,C] lorsque AB tourne autour du point A.



Lors de la préparation de l'examen, je n'arrive pas à résoudre cet exercice. Quelqu'un pourrait-il me montrer un exemple de solution ? (méthode analytique)

Merciii!

[phyelec]

Bonjour,
vous pouvez peut-être écrire :
soit xm,ym ,xb, yb, xc, yc les coordonnées respectivement de M, B,et C on peut déjà écrire ;

, soit :
xm=(xc-xb)
ym=(yc-yb)

il faut calculer xb, yb, xc, yc. Si vous mettez des points aux extrémités des diamètres des cercles, D1 (-2a,0) et D2(2c,0), alors D1BA est rectangle en B et D2CA rectangle en C, appliquez Pythagore

[phyelec]

erratum on a plutôt :

xm=(xc+xb)
ym=(yc+yb)

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Sans calcul : montrer que les droites et sont perpendiculaires.
En déduire le lieu de .

[yodabosten]

erratum on a plutôt :

xm=(xc+xb)
ym=(yc+yb)

C'est presque ce que j'ai fait. J'ai considéré que la pente était variable. J'arrive à une équation bizarre.

[GaBuZoMeu]

La méthode analytique est-elle vraiment imposée ? La méthode géométrique est si simple (une indication supplémentaire : que dire des médiatrices de [AB] et de [AC] ?).

[Shalom15]

Bonsoir,

Sans calcul : montrer que les droites et sont perpendiculaires.
En déduire le lieu de .

Là je comprends pas trop comment on peut montrer que les droite et sont perpendiculaires alors qu'il existe une position de B et C pour lesquelles C1, M, et C2 sont alignés.

[GaBuZoMeu]

Oui, il en existe même deux. Mais quelles sont ces positions ?

[GaBuZoMeu]

Pour qui voudrait absolument traiter cet exercice par le calcul : je suggère fortement de paramétrer les point et par l'angle entre l'axe des et la droite .
Si l'on pense aux formules de doublement de l'angle, on obtient sans difficulté une très jolie paramétrisation du lieu de .