Question de statistiques (peut-être)

[davidg4]

Bonjour,

je n'arrive pas à poser le problème suivant mathématiquement:

- un large groupe de 80 personnes va jouer en sous groupes à différents jeux.
- pour cela, nous proposons un choix de 10 jeux qui se jouent en parallèle, et qui peuvent chacun accueillir 8 personnes.
- Il y a plusieurs rounds, et à chaque round les personnes choisissent individuellement un nouveau jeu à faire. Elles ne restent donc pas dans le même sous-groupe tout le long.

Ce que j'essaie de déterminer:
Combien de rounds sont nécessaires pour que 2/3 des participants aient joué à 2/3 des jeux?

Je ne cherche pas la réponse avec les chiffres donnés, mais bien l'équation qui pose le problème avec comme variables:
- le total de personnes
- le nombre de jeux en parallèle

Deuxième challenge: comment poser la même équation mais avec un nombre de jeux qui évolue à chaque round?

Merciii d'avance pour vos pistes de raisonnement ou solutions

[Tsuwako]

Bonjour,

Je pense que cela dépend des conditions exactes qu'on impose aux joueurs par rapport aux jeux qu'ils peuvent choisir d'un round à l'autre.

Notamment, une question importante: est-ce qu'un joueur a le droit de rejouer à un jeu auquel il a déjà participé ? Par exemple, si un joueur participe au jeu n°1 au round 1, puis au jeu n°2 au round 2, est-ce qu'il aura le droit de participer à nouveau au jeu n°1 au round 3 ou même au round n>3?
-Si ce n'est pas le cas, alors à chaque nouveau round, tous les joueurs participerons à un nouveau jeu, donc la réponse à la question serait nbrounds = (2/3)*nbjeux.

Ici on n'a pas besoin de se poser la question de la proportion des joueurs qui doivent jouer au 2/3 des jeux puisqu'ils auront toujours participé au même nombre de jeux différents peu importe le round.

Dans votre exemple, les joueurs auront tous joué à 1/10 des jeux au round 1, puis à 2/10 des jeux au round 2, et ainsi de suite. Ainsi, on aurait besoin de (2/3)*10 = 6.67 rounds (environ) pour que n'importe quelle proportion de joueurs ait participé à 2/3 des jeux.

-Si c'est le cas alors le problème est complètement différent.
En effet, que faire si tous les joueurs décident d'alterner entre 3 jeux différents par exemple ?
Il nous faudrait alors ajouter d'autres conditions encore pour pouvoir faire en sorte que la proportion voulue des joueurs finissent tous par jouer à 2/3 des jeux au bout d'un moment pour répondre à votre question.


Evidemment tout ce que j'ai dit au-dessus suppose que tous les joueurs puissent participer sans exception à un jeu pour chaque round. Je ne l'ai pas précisé parce que cela implique aussi d'ajouter de nouvelles conditions.
Dans votre exemple, si on a 100 joueurs au lieu de 80, alors 20 devront attendre à chaque round, ce qui changerait beaucoup de choses.

Enfin bref, avant d'aller plus loin je pense vraiment qu'il faut se concentrer sur des situations plus précises sinon on ne pourra pas tout généraliser de manière évidente.

[lyceen95]

Si chaque joueur a l'interdiction de rejouer à un jeu déjà joué, c'est trop facile.
Si chaque joueur peut choisir tel ou tel jeu, selon ses goûts, alors ce n'est plus une question mathématique, mais une question de sociologie ou de je ne sais quoi. Si les jeux sont très différents, tel joueur choisira systématiquement un jeu de réflexion, tel autre choisira systématiquement un jeu d'adresse...
Pour que la question soit intéressante du point de vue mathématique, on va considérer qu'à chaque tour de jeu, chaque joueur tire un jeu au hasard.
Et pour être plus précis, on a une urne avec 80 petits papiers (8 papiers pour chaque jeu), chaque joueur tire un papier au hasard, et ainsi, on a l'assurance d'avoir 8 joueurs pour chaque jeu à chaque tour.

Intéressons-nous au joueur Toto. C'est systématiquement lui qui choisit un papier en premier, il choisit donc un jeu au hasard.
Au 1er Tour, il joue à 1 jeu
Au 2ème, il a joué à 1 jeu (proba=1/10) ou a 2 jeux (proba=9/10)
Au 3ème, il a joué à 1 jeu (proba=1/100), ou a 2 jeux(proba=27/100) ou a 3 jeux (proba=72/100)
Etc.
On peut calculer quand Toto a une proba supérieure à 2/3 d'avoir joué à 2/3 des jeux.

Jusque là, pas de problème théorique. Juste quelques difficultés sur les calculs.

En fait, ta question est mal posée. : Combien de rounds sont nécessaires pour que 2/3 des participants aient joué à 2/3 des jeux?
En fait, il faudrait demander : Combien de rounds sont nécessaires pour que 2/3 des participants aient joué à 2/3 des jeux avec une probabilité d'au moins X% ?
En effet, au bout de 10 tours par exemple, on peut avoir 100% des joueurs qui ont joué à 7 jeux sur les 10 jeux, si on a été chanceux, ou seulement 10% des joueurs.

Combien de rounds sont nécessaires pour que 2/3 des participants aient joué à 2/3 des jeux avec une probabilité d'au moins X% ?
Si on fixe X à 10% ou 20%, on aura forcément un nombre de tours souhaités plus faible que si on met le seuil à 80% ou 90%
Et si on fixe ce seuil X à 100%, la réponse est +infini.
Mais calculer le nombre de tours nécessaires pour les autres seuils, ça devient compliqué.
D'autant plus que les 80 joueurs de sont pas indépendants !!

On va donc s'en tenir au cas de Toto isolé, et donc au calcul commencé au début.