Intégrale divergente coordonnées polaires

[Osoroshi]

Bonjour,

Je ne trouve pas comment montrer que l'intégrale suivante diverge en (0,0).



Je passe en coordonnées polaires et j'obtiens :

et cette intégrale est bien divergente quand le rayon tend vers l'infini mais comment montrer que cela diverge aussi en (0,0) ?

Merci

[lyceen95]

Quel est l'énoncé précis de l'exercice ?
Là, tu as tous les éléments pour montrer que cette intégrale converge, et on te demande de montrer le contraire.
Il y a un loup quelque part.

[Osoroshi]

Il n y a pas d'énoncé justement, c'est juste une fonction que j'étudie. C'est pour ça que je suis perturbé parce qu'en l'infini il y a une décroissance lente donc divergence mais en 0 il y a également une asymptote verticale donc pas de convergence... elle est localement intégrable en revanche.
Mon soucis est donc juste de montrer la divergence en 0.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Il n'y a pas divergence en 0. Quelle est la fonction que tu étudies ? C'est ? Ben oui, elle tend vers quand tend vers . Et pourquoi ça devrait empêcher la convergence de l'intégrale ?

[Osoroshi]

Je pensais que comme on ne pouvait pas la définir en (0,0) et qu'elle présentait une asymptote verticale alors elle était divergente, mais au final ce n'est pas le cas je pense.
Merci !

[GaBuZoMeu]

Voyons, penses-tu que diverge ?

[lyceen95]

Une intégrale, dans cette configuration, c'est un peu comme un volume.
Tu imagines un volume en forme de vase, limité par un rayon de 1 par exemple. On a un vase très haut, infiniment haut, mais très fin , très très très fin.

Si le vase est très haut, et moyennement fin, on ne pourra jamais le remplir avec du sable, le volume est infini.
Mais s'il est très très très fin, il y a plein de cas où on pourra le remplir avec un volume fini de sable. Même si la hauteur est infinie.

[Osoroshi]

Voyons, penses-tu que diverge ?

Non bien évidemment cette intégrale converge, intégrale de Riemann avec 1/2 < 1

Une intégrale, dans cette configuration, c'est un peu comme un volume.
Tu imagines un volume en forme de vase, limité par un rayon de 1 par exemple. On a un vase très haut, infiniment haut, mais très fin , très très très fin.

Si le vase est très haut, et moyennement fin, on ne pourra jamais le remplir avec du sable, le volume est infini.
Mais s'il est très très très fin, il y a plein de cas où on pourra le remplir avec un volume fini de sable. Même si la hauteur est infinie.

J'adore la métaphore, merci beaucoup !