Polynomes , diagonalisation

[mehdi-128]

on definit phi(P)=(X^2-1)*P''+(2X+1)*P'
avec P un polynome de Rn[X]

en fait j'ai écris la matrice dans la base canonique (1,X,...,X^n) de l'endomorphisme phi et déterminé les valeurs propres qui sont:
0,2,6,........n^2+n et montré que phi était diagonalisable.

Cependant , je n'arrive pas à montrer qu'il existe une unique base de Rn[X] constituée de vecteurs propres (P0,.....,Pn) tel que:
pour tout k : deg(Pk)=k / pk unitaire

et determiner P0,P1,P2 me pose un problème.

Merci d'avance de votre aide!!

[fahr451]

si tes calculs sont exacts il y a n+1 valeurs propres distinctes donc chaque sous espace propre est une droite et comme sur une droite tous les vecteurs sont colinéaires il y a un et un seul vecteur unitaire .
Pour déterminer les vecteurs propres il faut résoudre le système
(A-lambdaI(n+1))Y= 0 où A est la matrice de l'application,lambda est la valeur propre et Y la colonne d'un vecteur propre associé. Y= (a0,a1,...,an) [ en colonne] avec an = 1

[mehdi-128]

POurquoi an est-il égal a 1?
et comment justifier que degPk=k pour la base des vecteurs propres?

[fahr451]

an= 1 car on impose unitaire en fait c est pas tout à fait exact
c'est Y = (a0,a1,...,ak=1,0....0) pour PK à condition davoir montré avant que Pk est de degré k

phi(P) = lambda P avec P de degré k impose en regardant les termes en X^k que lambda = k(k-1) +2k
d'où les valeurs propres possibles et la relation entre valeur propre et degré dun vecteur propre associé.

[mehdi-128]

je suis désolé mais je vois la relation entre valeur propre et degré dun vecteur propre associé pour montrer degPk=k

[fahr451]

ben si tu la vois c est parfait

[mehdi-128]

je suis désolé mais je vois
PAS
la relation entre valeur propre et degré dun vecteur propre associé pour montrer degPk=k......

[fahr451]

je reprends
la matrice est triangulaire
les valeurs propres sont les coefficients diagonaux
pour lambda =k(k+1) valeur propre
l équation phi(P) = lambda P avec degre P = q
impose (regarder les termes en X^q) q(q+1) = k(k+1) puis q =k

[mehdi-128]

Ayant compris cela je vous en remercie pouvez vous m'expliquer explicitement comment calculer les vecteurs propres P0,...Pk

[fahr451]

si deux poynômes sont égaux alors (condition NECESSAIRE) les termes de plus haut degré le sont; ce qui suffit ici à prouver que q = k

[mehdi-128]

Ayant compris cela je vous en remercie pouvez vous m'expliquer explicitement comment calculer les vecteurs propres P0,...Pk
merci!

[fahr451]

on utilise la matrice par exemple
avec Yk= (a0,...,ak=1,0,...,0) ("colonne "des coordonnés de Pk) on résoud AYk = k(k+1)Yk

[mehdi-128]

je n'arrive pas à déterminer Po car il n'apparaît pas dans le systeme?

[fahr451]

P0 doit être unitaire et de degré 0 ça fait pas bcp de possibilités...

[mehdi-128]

oui intelligent ca
merci!

[mehdi-128]

Je n'arrive pas à calculer P1 car la 1ere colonne de la matrice est nulle je ne peux donc pas accéder a a0 la 1ere coordonnée de P1?

[BQss]

je suis désolé mais je vois la relation entre valeur propre et degré dun vecteur propre associé pour montrer degPk=k

ben si tu la vois c est parfait

Fahr451 tu es enorme :ptdr: :king2:

[mehdi-128]

loooooooooool
mais sérieusement la dernière question que je t'ai posé est pertinente......

y a quelqu'un?