Probabilités et statistiques

[teoman62200]

Bonjour à tous,

En vu de préparer mon DS de maths je me suis entrainé avec un DS blanc .
J'aimerai beaucoup obtenir un corrigé mais mon prof a oublié de nous envoyer les réponses/résultats promis, alors que le partiel est dans quelques jours...

Je ne suis pas du tout sur de moi et assez stressé.
Est ce que vous pourriez m'aider en me disant si j'ai bon aux questions ou non, s'il vous plait ?
Ou vraiment dans le meilleur des cas si je pouvais obtenir un mini corrigé ce serai super, mais déjà ce serai très bien, j'aimerai juste réussir ce partiel.

Voici le sujet joint avec mes réponses, je n'ai pas encore tout fait.

Je suis conscient que cela requiert un certain temps de travail, j'en suis navré, merci d'avance pour des éventuelles réponses en tout cas.
Cordialement,
Teo

Exercice I : [15 points]
On se propose d’étudier la durée de vie d’un téléviseur de type TV (en Heures).
On supposera dans tout le problème que la durée de vie X d’un téléviseur de type TV suit
une loi normale de paramètres µ X et σ X .
1°) Dans un 1er temps, on suppose que ce téléviseur a été conçu pour avoir une durée de vie
moyenne de 2 000 Heures et une variance de 40 000 Heures.
a) Quelle est la probabilité pour qu’un téléviseur de type TV pris au hasard dans la
production ait une durée de vie supérieure à 2 200 Heures ?

0,498


b) En conservant l’hypothèse que la durée de vie moyenne est de 2 000 Heures, quel
doit être la valeur de l’écart type σ X pour que la probabilité d’un téléviseur de type
TV ait une durée de vie inférieure à 1600 Heures, soit égale à 0,01 ?

793,65

2°) On supposera ici que la durée de vie est une variable aléatoire qui suit une loi normale de
paramètre µ X inconnu et d’écart type heures σ X = 200 .
En vue de contrôler si les téléviseurs de type TV ont une durée de vie suffisante c'est-à-dire
au moins égale à 2000 Heures en moyenne, une étude est réalisée sur un échantillon de 16
téléviseurs de type TV qui a donné une durée de vie moyenne de 2 050 Heures.
a) Estimer, par intervalle de confiance, la moyenne de la population, au niveau 95%, en
utilisant les résultats de l’échantillon.

[1944;2156]

b) On veut une marge d’erreur faible pour la moyenne de la population. Déterminer la
taille d’échantillon nécessaire pour que la marge d’erreur de l’intervalle de confiance
du b) soit de 50 Heures (on gardera un niveau de confiance de 95%).

n=71,91


3°) On veut maintenant évaluer la valeur de l’écart typeσ X supposé ici inconnu.
Pour cela, on se sert d’une nouvelle étude portant sur 26 téléviseurs de type TV qui donne
comme résultat un écart type de 180 Heures.
On supposera que X suit une loi normale de paramètres µ X et σ X inconnus.
Avec les résultats de cet échantillon, estimer, par intervalle de confiance, la variance de la
population, au niveau de confiance 95%.
2


[20748,76 ; 64305,34]

[lyceen95]

Des chiffres sans les explications des calculs, pour moi, c'est sans intérêt. Peut-être que c'est ce qu'on te demande, mais je ne pense pas.
question 1a) 0.498 : non
question 1b) 793,65 : non
Questions suivantes : pas regardé.

[teoman62200]

1°) a)

P(X>2200) = 1-P(X<2200)=1-P(X<0,005)=1-phi(X<0,005) =1-0,502=0,498

J'ai peut être oublié le phi(1) => je trouve 0,3394

1°) b)

P(X< 1600-2000)/σ )=0,01
400/σ=phi(0,01)
σ=793,65

J'ai tenté de corriger par 1-P(X>-1600)=0,01
P(X>-1600)=0,99
phi(400/σ)=phi(2,33)
σ=171,67

[teoman62200]

3) estimation variance au risque α=5%

avec µ et σ inconnus

Du coup j'utilise la formule IC(σ²)=[ ns²/X1-α/2 ; n-1 ; ns²/Xα/2 ; n-1 ]
En remplaçant je trouve [20748,76 ; 64305,34]

[teoman62200]

Pour la suite l'énoncé est le suivant :

4°) On effectue une modification technique à la fabrication afin d’améliorer la durée de vie.
On obtient alors une nouvelle série de téléviseurs du type TV+. Pour savoir, si cette
modification apporte une amélioration de la durée de vie des téléviseurs, on va tester si les
nouveaux téléviseurs de type TV+ sont plus performants que les anciens téléviseurs de type
TV. Une nouvelle étude sur 30 nouveaux téléviseurs de type TV+ a donné une durée de vie
moyenne de 2 120 Heures et un écart type 140 Heures.
On supposera que Y la durée de vie du nouveau téléviseur de type TV+ suit aussi une loi
normale de paramètres µY et σY inconnus.
a) Tester, au vu de l’échantillon, l’hypothèse que l’écart type du nouveau téléviseur
est plus faible que celle de l’ancien téléviseur supposée égale à 200 Heures, au
seuil 5%.

Au risque α, on rejette H0 : σ² = σ0² contre H1 : σ² < σ0² si :
v² < σ0² . X²α;n / n

avec X² 0,05;30 = 16,8

140 < 200 . 16,8 / 30
140<112

On ne rejette pas H0 contre σ² < σ0²

b) A l’aide d’un test, peut-on considérer que le nouveau téléviseur de type TV+ a
une durée de vie moyenne supérieure à celle de l’ancien téléviseur de type TV
supposée égale à 2 000 Heures ? (On prendra un risque de 5%)

Au risque α on rejette H0 : µ=µ0 contre H1 : µ>µ0 si :
x-µ0>tα σ/racine(n)

avec t0,95 140/racine(30)

je remplace pour trouver : 120>43
donc on rejette H0 contre µ>µ0

5°) L’entreprise décide de fabriquer plutôt les nouveaux téléviseurs de type TV+ mais ils ont
plus de risque d’avoir des défaillances techniques car la technologie est récente.
On prélève au hasard un échantillon de 400 téléviseurs de type TV+ et on constate que 16
ont des défaillances techniques.

a) Donner une estimation par intervalle de confiance de la proportion de téléviseurs de
type TV+ connaissant des défaillances techniques, au seuil 5% puis au seuil 1%.
Comparer les deux intervalles de confiance obtenus. Quel est le plus précis ?
Justifier votre réponse.

Test de proportion : avec f=0,96
IC(p) = [f + ou - t1-α/2 . racine( f(1-f)/n)

avec t0,975 = 1,965

je trouve IC=[0,94;0,98]
et avec 1% : [0,92;0,98] avec t= 2,586

b) Les téléviseurs de type TV+ se vendent plus chers. L’entreprise souhaite obtenir un
taux de défaillance inférieur à 6%. Tester, au vu de l’échantillon précédent, si
l’entreprise a atteint ses objectifs au seuil 5%. Que se passe-t-il si on a un seuil de
1% ? La décision change-t-elle ? Justifier votre réponse.

Exercice II : [5 points]
On veut savoir si la résistance moyenne de composants produits dans une usine est 400 Ω.
On considère que la distribution des résistances suit une loi normale de paramètres µ et σ .
On cherche à vérifier cette hypothèse à partir d’observations d’un échantillon de taille 16
dont les résultats sont les suivants :

somme des xi = 6 338
somme des xi²= 2 511 322
la résistance d’un composant n°i, (i=1,…16).

1°) Donner la signification des 2 paramètres µ et σ pour cette étude.

2°) Donner une estimation ponctuelle non biaisée de µ .

µ = 6338/16 = 396,12

3°) Donner une estimation ponctuelle non biaisée de σ .

s² = 2511322 / 16 - 396,12 = 46,57
s= racine ( 16/15 . 46,57 ) = 7,04

4°) Tester si la résistance moyenne respecte la norme de 400 Ω au risque 5%.

[lyceen95]

Question 1a
Tu écris : 1-P(X<2200)=1-P(X<0,005)

Donc moi, j'en déduis que P(X<2200)=P(X<0,005)
Et ça me surprend.
On a un truc X, qui représente quelque chose (une durée de vie). Et la proba que X soit plus petit que 2200, ou bien la proba que X soit plus petit que 0.005, ce serait la même chose.

[Kekia]

Bonjour teoman62200,

En plus des notations évoquées par Lyceen95, attention à ne pas confondre variance et écart-type, c'est ce qui rend ton résultat faux (je sais que tu as voulu centrer réduire).

Et tant qu'on parle des notations je parie que pour toi phi(x)=P(Z<x) avec Z une variable aléatoire qui suit une loi normale N(0,1), il n'est pas question d'appliquer phi un peu partout au petit bonheur la chance ni sur 1 ni en écrivant phi(...<...) !

[teoman62200]

Oui c'est une erreur d'écriture, mais est-ce que le résultat est bon quand même ou pas du tout ?

[Kekia]

Non et je t'ai donné la raison dans ma première remarque confusion entre variance et ecart-type. Rédige proprement et tu auras plus de chances d'avoir la bonne réponse, c'est le meilleur conseil à te donner je pense.