Valeur intégrale

par **S@N-SaYaN M@n** » 22 Déc 2006, 16:38

Bonjour,
j'ai lu le résultat suivant et je ne comprend pas comment y arriver, si quelqu'un pouvait m'aider...

Merci

par **BQss** » 22 Déc 2006, 16:47

S@N-SaYaN M@n a écrit:Bonjour,
j'ai lu le résultat suivant et je ne comprend pas comment y arriver, si quelqu'un pouvait m'aider...

Merci

Essaie des integrations par partie successives pour te ramener a une expression de I(n) en fonction d'une expression.

par **fahr451** » 22 Déc 2006, 16:52

si je lis bien le résultat dépend de alpha qui est ta variable d 'intégration....

par **BQss** » 22 Déc 2006, 16:55

Essaie peut-etre des integrations par partie successives pour te ramener a une expression de I(n) en fonction d'une expression.
pose u(x)= exp(-b*(alpha)^2t) et v'(x)=cos((alpha)*x)

désolé j'ai pas le temps de voir plus j'y vais.

oui c'est ca il me semble, tu dois trouver [un terme nulle, (l'exp tend vers0 au borne)] - 2b/x*integrale ((alpha)*exp(-b*(alpha)^2t)*sin((alpha)*x))

ensuite tu refais une integration par partie... bon j'y vais.

par **fahr451** » 22 Déc 2006, 17:10

sauf erreur de ma part tu dois remplacer le alpha ds l'exponentielle par B
et supprimer l autre alpha ds la racine carrée.

par **BQss** » 22 Déc 2006, 17:11

fahr451 a écrit:si je lis bien le résultat dépend de alpha qui est ta variable d 'intégration....

Oui il n'y a pas d'alpha au final dans l'expression evidemment.
S@N-SaYaN M@n, Revois ton expression et fais comme j'ai dit tu vas tomber sur une expression qui depend de x et de beta.

par **fahr451** » 22 Déc 2006, 17:13

la méthode la plus simple est de passer par les complexes de mettre sous forme canonique le trinôme et ensuite d 'intégrer sur le bord d'un rectangle
la fonction holomorphe; on a deux grands côtés horizontaux et deux petits côtés verticaux l'intégrale est nulle, et on est ramené au calcul de la gaussienne
intégrale de - inf ,+inf de exp -u^2/2 = racine (2pi)

par **S@N-SaYaN M@n** » 08 Jan 2007, 16:23

Bonjour,
Merci pour vos réponses et désolé pour le temps de latence. Mais avec les fêtes...
effectivement, j'aurai du faire attention en recopiant, il n'y a pas d'alpha sous la racine carrée et c'est un B à la place du alpha sous l'exponentielle.

Pour l'intégration par partie, je crois que si

est nulle c'est parce que c'est une fonction impaire intégrée sur

si je répète ensuite la procédure d'intégration par partie
avec

j'obtiens :

Bref je tourne en rond...

Et pour l'autre méthode, ça fait malheureusement longtemps que je n'ai pas touché à la théorie des fonctions holomorphes et j'ai bien peur que tes explications ne soient un peu succinte pour mes bribes de souvenirs...
Si tu pouvais développer un peu plus

Merci

par **fahr451** » 08 Jan 2007, 20:13

on intègre sur un rectangle

la fonction est holomorphe donc l intégrale est nulle

le rectangle est formé de

par **fahr451** » 08 Jan 2007, 20:46

allons y ( a désigne ton alpha)

on passe en complexe on doit calculer la partie réelle de l'intégrale de

exp [ -Ba^2t +iax]= exp[-x^2/(4tB)] . exp [ -Bt(a-ix/(t^2B)^2]

on intégre ds un premier temps sur un rectangle ainsi fait:

un côté C horitontal sur l'axe des abscisses [-R,R]
un côté horizontal D à l'ordonnée y = -x/(t^2B)
deux petits côtés verticaux pour fermer le rectangle

l intégrale est nulle car la fonction est holomorphe
or quand R tend vers + infini l 'intégrale sur chaque côté vertical tend vers 0
car la longueur du côté est constante et la fonction à intégrer tend vers 0

donc à la limite R = + inf

les intégrales sur chaque côté horizontal sont égales ( ds le même sens de parcours)

donc l 'intégrale à calculer est intégrale de - inf à + inf de

exp[-x^2/(4tB)]exp[-Bta^2] et il reste à faire un changement de variable
linéaire pour se ramener à la gaussienne

par **S@N-SaYaN M@n** » 09 Jan 2007, 18:32

Merci beaucoup pour ton aide.
J'ai bien compris le principe, mail il y a une dernière chose qui m'échappe, c'est ta factorisation par

ce serait pas plutôt ?

par **S@N-SaYaN M@n** » 09 Jan 2007, 18:37

Merci beaucoup pour ton aide. J'ai pense avoir compris le principe.
Il y a juste un dernier point qui m'échappe, je ne comprend pas bien ta factorisation par

Ce ne serait pas plutôt :

par **fahr451** » 09 Jan 2007, 18:40

il ya une coquille en effet ds mon écriture fort lourde sans latex
mettre le trinôme en alpha sous forme canonique ce n 'est pas t^2 mais 2t

-Ba^2t +iax = -Bt[ a^2 - iax/(tB)] = -Bt{ [ (a- ix/(2tB) ]^2 +[x/(2tB)]^2}

par **S@N-SaYaN M@n** » 10 Jan 2007, 09:51

Merci beaucoup pour ton aide, cette fois c'est bon, je pense que tout est ok.

Valeur intégrale

Valeur intégrale

Qui est en ligne